Verschoben! Punktmenge bestimmen über Abstand von Geraden

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19.06.2009, 07:59	sunmysky	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktmenge bestimmen über Abstand von Geraden Ich habe hier eine Aufgabe, bei ich nicht wirklich vorwärst komme. Vielleicht habt ihr ja nen Tipp. Bestimmen Sie die Menge M aller Punkte $\begin{eqnarray} \left(\begin {array} {c}x \\ y \\ z \\ \end {array} \right) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , die von den Geraden $\begin{eqnarray} g_1:\vec{x}+\left(\begin {array} {c}0 \\ 0 \\ -2 \\ \end {array} \right) +\lambda \left(\begin {array} {c}1 \\ 0 \\ 0 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray}$ den doppelten Abstand wie von der Geraden $\begin{eqnarray} g_2:\vec{x}+\left(\begin {array} {c}0 \\ 0 \\ 1\\ \end {array} \right) + \mu \left(\begin {array} {c}1 \\ 1 \\ 0 \\ \end {array} \right) \end{eqnarray}$ haben. Stellen Sie M in der Form $\begin{eqnarray} M=\left\{\left(\begin {array} {c}x \\ y \\ z \\ \end {array} \right)\|f(x,y,z)=0\right\} \end{eqnarray}$ dar. Ich habe zuerst geguckt, wie die Geraden zueinader liegen. (windschief) Anschließend hab ich über die Formel von Abstands zw. windschiefen Geraden verscuht weiter zu machen. Aber ich komm nicht wirklich voran!!! Habt ihr ne Idee???
19.06.2009, 10:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Der gesuchte Punkt liegt auf dem Gemeinlot der beiden Geraden und teilt dieses (die Strecke der Endpunkte) im Verhältnis 2 : 1, von g1 aus gesehen. Das Gemeinlot ermittelst du am besten mittels des geschlossenen Vektorzuges. Seine Richtung ergibt sich daraus, dass es sowohl auf g1 als auch auf g2 senkrecht stehen muss. mY+
19.06.2009, 11:07	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punktmenge bestimmen über Abstand von Geraden wenn man sich die beiden geraden anschaut, muß man eigentlich nix rechnen bedenke, dass $\begin{eqnarray} \vec{r}_1\times\vec{r}_2=(0/0/1)^T \end{eqnarray}$ und schau die aufpunkte an
19.06.2009, 15:40	sunmysky	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich hab kein Wort verstanden. Könnt ihr mir das eventuell ausführlich erklären??? Kann ich das über meinen Ansatz machen? Und was ist r1 x r2??? Ist das das Vektorprodukt??? Wenn ja, warum?
19.06.2009, 17:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
We are sorry too! Die Aufgabe sollen ja nicht wir rechnen, sondern du. Irgendwelche diesbezügliche Kenntnisse dazu solltest du schon haben. Hast ja auch Hinweise dazu bekommen. Noch ausführlicher hieße, die Komplettlösung anzugeben. Ja, es ist das Vektorprodukt. Was sagt dieses geometrisch aus? Wie bestimmt man das Gemeinlot der Geraden? In deinem Fall ist die Angabe derart einfach, dass man alles mehr oder weniger ablesen kann; nichtsdestoweniger lässt sich natürlich auch alles (leicht) berechnen. Schreibe eventuell mal, was du gerechnet hast bzw. wie weit du gekommen bist und wo es hakt. mY+
19.06.2009, 19:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So trivial erscheint mir das Ganze gar nicht. Als Lösung bekomme ich die Quadrik $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = 2x^2 + y^2 - 4xy + 3z^2 - 12z = 0 \end{eqnarray}$ Es bezeichne $\begin{eqnarray} d(P,g) \end{eqnarray}$ den Abstand des Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ von der Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Dann ist die Bedingung $\begin{eqnarray} d(P,g_1) = 2 \cdot d(P,g_2) \end{eqnarray}$ zu erfüllen. Den Abstand eines Punktes $\begin{eqnarray} P=(x,y,z) \end{eqnarray}$ von einer Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ berechnet man nach Plücker durch $\begin{eqnarray} d(P,g) = \left\| u \times (P - A) \right\| \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ein normierter Richtungsvektor und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ein Punkt von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Das Kreuz bezeichnet das Vektorprodukt, die senkrechten Striche die euklidische Länge.
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19.06.2009, 20:06	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das kommt davon, wenn man zu EBEN denkt was mache ich nun mit z = 0
19.06.2009, 20:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopold, ich befürchte, du hast Recht, es gibt für diese Aufgabe mehrere Lösungen, sogar unendlich viele. Die Punkte gleicher Abstände von der Geraden liegen auf Zylinderflächen, mit der Geraden als Achse ... (das hatte mir schon anfangs Kopfzerbrechen bereitet). Rechnet man wie zuvor beschrieben, nur mit dem Gemeinlot, so bekommt man eben nur diese eine Lösung: Durch die besondere Angabe ist sogar ohne Rechnung zu erkennen, dass der Nullpunkt eine Lösung darstellt, denn die Distanz der beiden Lotfusspunkte ist 3 (und das Gemeinlot verläuft senkrecht). Aber dies ist nur ein einzelner Punkt, der auf der von dir angegebenen Fläche 2. Ordnung liegt. Danke für die Aufklärung. Ich verschiebe den Thread denn auch in den Hochschulbereich. * verschoben * mY+
20.06.2009, 09:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Führt man die Hauptachsentransformation durch, erhält man modulo Rechenfehler das Folgende: Heftet man im Punkt $\begin{eqnarray} O' = \left( 0,0,2 \right) \end{eqnarray}$ die Vektoren $\begin{eqnarray} e_1' = \frac{1}{a} \left( 4 , - \left( \sqrt{17} - 1 \right) , 0 \right) \, , \ \ e_2' = \frac{1}{a} \left( \sqrt{17} - 1 , 4 , 0 \right) \, , \ \ e_3' = (0,0,1) \ \ \text{mit} \ \ a = \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \end{eqnarray}$ an (sie bilden ein positiv orientiertes Orthonormalsystem), so gilt für die gesuchten Punkte in den Koordinaten $\begin{eqnarray} (x',y',z') \end{eqnarray}$ bezüglich des Koordinatensystems $\begin{eqnarray} (O'; e_1', e_2', e_3') \end{eqnarray}$ die Relation $\begin{eqnarray} \left( \sqrt{17} + 3 \right) x'^{\, 2} - \left( \sqrt{17} - 3 \right) y'^{\, 2} + 6 z'^{\, 2} - 24 = 0 \end{eqnarray}$ Das ist die Gleichung eines einschaligen Hyperboloides.

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