Funktionswerte von holomorphen Funktionen

19.06.2009, 15:43

Epsilon82

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Funktionswerte von holomorphen Funktionen

Hallo,

ich habe eine Frage zu Funktionswerten von holomorphen Funktionen:

Die Aufgabe lautet:

Die Funktion f ist holomorph auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \ ohne \{i\cdot\ t \: t\geq 0\} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x)=i \cdot x ^{1/4} \end{eqnarray*}$ für x>0

Nun soll der Wert:
f(-3) berechnet werden.

Wie soll das funktioneren, wenn die Funktion nur für x>0 definiert wird?

Es ist ja auch nicht angebenen, was außerhalb dieses Gebiets passieren soll, was also für die Fälle für x nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \ ohne \{i\cdot\ t \: t\geq 0\} \end{eqnarray*}$ passiert!

Und eine weitere Aufgabe lautet:
f wieder wie oben, jedoch mit der Zuordnung:
$\begin{eqnarray*} e^{f(x)}=i \cdot x ^2 \end{eqnarray*}$

mit dem Tipp: $\begin{eqnarray*} f(1)=i \cdot \frac {\pi} {2} \end{eqnarray*}$

Wie kommen ich bitteschön auf so ein Ergebnis.

Brauche nur einen Tipp...

Grüße
Epsilon

19.06.2009, 17:41

Leopold

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RE: Funktionswerte von holomorphen Funktionen

Zitat:

Original von Epsilon82
Die Funktion f ist holomorph auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \ ohne \{i\cdot\ t \: t\geq 0\} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x)=i \cdot x ^{1/4} \end{eqnarray*}$ für x>0

Mit $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ wird hier nicht der Definitionsbereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ festgelegt. Der ist ja nach Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \setminus \{ \, \operatorname{i}t \, \left| \, t \geq 0 \, \right. \} \end{eqnarray*}$ . Die Aussage sagt lediglich, wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ wirkt. Wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für die anderen $\begin{eqnarray*} z \in G \end{eqnarray*}$ wirkt, sollst du gerade herausfinden, insbesondere $\begin{eqnarray*} f(-3) \end{eqnarray*}$ .

19.06.2009, 18:28

Epsilon82

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RE: Funktionswerte von holomorphen Funktionen
Kann ich hier irgendwie mit Symmetrie arbeiten. Ich meine, dass ich für den Punkt x=3 und f(3) auf x=-3 mit f(-3) schließen kann, ansonsten weiß ich nicht, wie der Wert für f(-3) sein soll.
Kann ja schließlich alles mögliche sein.

Moment einmal. Ist f außerhalb von G vielleicht nur reell-wertig, also ohne i ?

Gruß und Dank schon einmal,

Epsilon

19.06.2009, 19:31

Leopold

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Nach dem Identitätssatz liegt eine holomorphe Funktion in einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bereits fest, wenn man sie auf Werten, die sich in einem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ häufen, kennt. Bei der Menge der reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist sogar jeder Punkt Häufungspunkt. Wenn es also überhaupt eine auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ definierte holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \operatorname{i} x^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gibt, dann nur eine (wobei hier mit $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ sicher die gewöhnliche reelle positive vierte Wurzel gemeint ist).
Anders herum: Du mußt eine auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ angeben, deren Restriktion auf $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ die oben angegebenen Werte liefert. Dann hast du die Aufgabe gelöst.

Was weißt du über die komplexe vierte Wurzel?

20.06.2009, 11:28

Epsilon82

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Hallo Leopold,

also suche ich eine Funktion, die genau diese Eigenschaften hat und nach dem Identitässatz existieren müsste. Diese sieht dann anders aus als die angegebene, ne?

In dieser Funktion kann ich dann auch f(-3) usw. berechnen, richtig?

Was ich über die komplexe vierte Wurzel weiß?

Gilt folgendes?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} =i, da \ i^2=-1 \end{eqnarray*}$

d.h. die vierte Wurzel aus i wäre dann doch:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{-1})^{1/4} \end{eqnarray*}$

Also: 1 ?
Grüße

20.06.2009, 11:40

Leopold

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O nein! Wo anfangen?

Wie willst du so eine Aufgabe lösen, wenn dir nicht einmal klar ist, daß die Gleichung $\begin{eqnarray*} w^4 = z \end{eqnarray*}$ vier verschiedene Lösungen besitzt?
Ich kann mir kaum vorstellen, daß diese Aufgabe gestellt wurde, ohne daß die vierte Wurzel mitsamt ihren Zweigen in der Vorlesung dran war. Bitte ziehe dein Skript zu Rate und vertiefe dich erst einmal darin.

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20.06.2009, 11:49

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Zitat:

Original von Epsilon82
$\begin{eqnarray*} f(x)=i \cdot x ^{1/4} \end{eqnarray*}$ für x>0

[...]

mit dem Tipp: $\begin{eqnarray*} f(1)=i \cdot \frac {\pi} {2} \end{eqnarray*}$

Das macht keinen Sinn. Sicher lautet der Tipp

$\begin{eqnarray*} f(1) = \exp\left( i \cdot \frac {\pi} {2} \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: ... achso sorry, das ist ja schon die nächste Aufgabe - schlecht getrennt. Aber (*) passt zu deiner ersten Aufgabe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.06.2009, 12:10

Epsilon82

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Mannomann, seid ihr schnell. Ich bin noch gerade dabei die Überarbeitung des Blödsinns zu tippen, da kommen schon Antworten.

korrektur:

i^(1/4)= 1, -1, i, -i auf der Gauß`schen Ebene. Die Aufteilung des Kreises in 4 Teile.

Handelt es sich hier um den Kreis in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit Radius 1?

Dann habe ich noch eine Formel gefunden, die genau diese Aufteilung "erzeugt".
Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C, z^{n}=a \neq 0, a=|a| \cdot exp ^{ i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$

mit der n-ten Wurzel aus a:

$\begin{eqnarray*} z_k= |a|^{1/n} \cdot exp ( \frac{i \cdot \phi}{n} + k \cdot \frac {2 \cdot \pi \cdot i} {n})<br /> \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} (k=0,1,...n) \end{eqnarray*}$ (*)

In unserem Fall sind das für n=4,
also ist es:
$\begin{eqnarray*} z_k= |a|^{1/4} \cdot exp ( \frac{i \cdot \phi}{4} + k \cdot \frac {2 \cdot \pi \cdot i} {4})<br /> \end{eqnarray*}$

Soweit habe ich jetzt eine Vorstellung von der Geschichte, aber ich weiß noch nicht genau, wie ich das mit f(x)=i*x^(1/4) verstehen soll.

x ist ja aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$
also kann ich x auch als $\begin{eqnarray*} x=a + i \cdot b \end{eqnarray*}$ schreiben, oder?
Dann wäre $\begin{eqnarray*} i*x^{1/4} =i \cdot (a+i \cdot b)^{1/4} = (a \cdot i - b)^{1/4} \end{eqnarray*}$ , oder?
Nun kann ich das herumdrehen und habe:
$\begin{eqnarray*} (-b +a \cdot i)^{1/4} \end{eqnarray*}$ .
Kann ich nun mit der Formel (*) weiterrechnen?

Grüße

20.06.2009, 12:46

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Zitat:

Original von Epsilon82
In unserem Fall sind das für n=4,
also ist es:
$\begin{eqnarray*} z_k= |a|^{1/4} \cdot exp ( \frac{i \cdot \phi}{4} + k \cdot \frac {2 \cdot \pi \cdot i} {4}) \end{eqnarray*}$

Halten wir fest: Du musst also einen Zweig wählen mit $\begin{eqnarray*} f(x) = i \sqrt[4]{x} \end{eqnarray*}$ für alle positiven reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das ist gemäß deiner Formel der Zweig mit $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(z) = f\left( r\cdot \exp(i \varphi) \right) = i\sqrt[4]{r} \cdot \exp \left( i \frac{\varphi}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Besonderen Augenmerk musst du jetzt auf die Wahl des Argument $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in dieser Formel legen:

Klar, $\begin{eqnarray*} \varphi=0 \end{eqnarray*}$ muss dabei sein, damit die positive reelle Achse erfasst ist. Aber welchen Bereich durchläuft dieser Winkel insgesamt, damit $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ganz $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ durchläuft UND die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ holomorph (und damit insbesondere stetig) ist?

Nur soviel: Es ist NICHT der Bereich $\begin{eqnarray*} -\pi < \varphi \leq \pi \end{eqnarray*}$ wie sonst oft üblich, denn für den hat man keine Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf der negativen reellen Achse. unglücklich

unglücklich

Also, irgendeine andere Idee? Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.06.2009, 13:28

Epsilon82

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Hallo Arthur,

danke für den Hinweis.

1. Ist die eingebaute Graphik die Funktion? Ich stelle sie mir ganz anders vor...
2. Für die vierte Wurzel aus $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind die Werte -1,1,-i,i möglich, meine ich zumindest noch...

Also würde ich mal auf den Bereich von
$\begin{eqnarray*} -1 \leq \phi \leq 1 \end{eqnarray*}$ tippen.
Das kommt auch mit meiner Vorstellung von der Kreisaufteilung überein... oder war der Ansatz falsch?
Bin gerade etwas unsicher...

Grüße und Dank

20.06.2009, 13:34

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Zitat:

Original von Epsilon82
1. Ist die eingebaute Graphik die Funktion? Ich stelle sie mir ganz anders vor...

Nein, natürlich nicht.

Die Grafik soll nur noch mal das Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ verdeutlichen, wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert und holomorph sein muss: $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist die gesamte Gaußsche Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit Ausnahme der roten Linie. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sorry, ich hatte mich oben bei der Zeichnung auch noch vertippt - ist jetzt korrigiert.

Zitat:

Original von Epsilon82
Also würde ich mal auf den Bereich von
$\begin{eqnarray*} -1 \leq \phi \leq 1 \end{eqnarray*}$ tippen.

Nein, bitte nachdenken statt raten. Ich schreib $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ angelehnt an die hier offenbar wichtige Polardarstellung mal noch etwas anders

$\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \setminus \left\{ t\cdot e^{\frac{\pi}{2} i} \bigm| t\geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ ,

vielleicht hilft das weiter.

20.06.2009, 14:09

Epsilon82

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Zitat:

Nein, bitte nachdenken statt raten. Ich schreib $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ angelehnt an die hier offenbar wichtige Polardarstellung mal noch etwas anders $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \setminus \left\{ t\cdot e^{\frac{\pi}{2} i} \bigm| t\geq 0 \right\} \end{eqnarray*}$ ,

Ich habe mir ja schon Gedanken gemacht, deshalb ja der Hinweis mit Viertelung des Gebiets G.

Wenn ich mir die Graphik betrachte, an die Polarkoordinaten denke und daran, dass es holomorph sein muss, dann könnte ich mit $\begin{eqnarray*} log(z) = \phi \end{eqnarray*}$ weiterkommen.

1. Dann wäre f(0) ein Problem, weil log(0) nicht geht. Dies beträfe den Bereich t aus G in deiner Graphik.
2. Die Funktion wäre holomorph als Verknüpfung von holomorphen Funktionen.
3. Für x < 0 wäre es auch definiert und stetig.

Kann ich damit etwas anfangen? Ansonsten habe ich den Hinweis nicht ganz verstanden.

Grüße

20.06.2009, 14:18

AD

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Nein, ist zwar immer irgendwas richtiges dabei, aber du stößt nicht zum Kern des Problems vor.

Der Winkelbereich für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ muss ja fast die gesamte komplexe Ebene erfassen, also die Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ haben. Kehren wir dann doch mal zum Raten zurück: Ist es

(a) $\begin{eqnarray*} 0<\varphi < 2\pi \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\pi <\varphi < \frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} -\pi <\varphi < \pi \end{eqnarray*}$

(d) $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}\pi <\varphi < \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$

Denk an die rote Linie!

20.06.2009, 14:44

Epsilon82

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Hallo Arthur,

da ich (c) bereits ausschließen kann, denke ich, dass die Grenzen von

(a) $\begin{eqnarray*} 0<\varphi < 2\pi \end{eqnarray*}$

ist, da ich die rote Linie ja nicht dabei haben will und diese durch 0,t geht.

Wenn dies richtig ist, dann frage ich mich, wie ich nun $\begin{eqnarray*} f(-3) \end{eqnarray*}$ berechnen soll.

Grüße und Danke schon einmal bis hierhin,
Epsilon

20.06.2009, 14:46

AD

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Nein: Mit (a) schließt du die reelle Achse aus - das geht nun gleich gar nicht, dort liegen ja deine Vorgaben f(x). unglücklich

unglücklich

22.06.2009, 17:16

Epsilon82

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Hallo Arthur,

ich habe mir unser Skript noch einmal zu Gemüte geführt und das Buch von Jänich zum Thema durchgesehen. Nun glaube ich langsam zu wissen, worauf du hinaus willst.
Durch das Gebiet G, welches dann von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$
abhängt, kann man eine Funktion g zu f konstruieren, die nach dem Identitätssatz mit f identisch ist. Dafür muss das Gebiet aber die Holomorphie von g zulassen, richtig? Stichwort Konvergenzradius von g.

Diese Funktion g hätte dann die Eigenschaften von f (bis auf endlich viele) und ließe es zu, dass ich statt f(-3) dann g(-3) berechnen und trotzdem das gleiche herausbekomme, als wenn f(-3) betrachtet würde.

So habe ich es bisher verstanden.
Leider kann ich immer noch nicht genau sagen, welches Intervall für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ infrage kommt.

d)?

Grüße und Dank für die Geduld Freude

Freude

Epsilon

22.06.2009, 17:22

AD

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Ich mach's jetzt kurz: Richtig ist

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}\pi <\varphi < \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ ,

denn bei den drei anderen hat man als Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die positive oder die negative reelle Achse bzw. die negative imaginäre Achse. Hier bei (d) wäre es die positive imaginäre Achse, wenn die denn zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gehören würde - tut sie aber nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.06.2009, 09:58

Epsilon82

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Hallo Arthur,

okay. Das habe ich verstanden. Aber wie kann ich den Wert f(-3) bestimmen?

Muss ich nun mit der Cauchy-Integralformel
$\begin{eqnarray*} f(a)=\frac{1}{2 \cdot \pi \cdot i}\cdot \int_{| z-z_0|=r}^{}~ \frac{f(z)}{(z-a)}~dz \end{eqnarray*}$
weiterarbeiten, indem ich für $\begin{eqnarray*} a = -3 \end{eqnarray*}$ einsetze?

Ich weiß ja nun, dass meine Gebiet G durch die Grenzen in b)

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}\pi <\varphi < \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ , beschränkt wird, richtig?

Grüße
Epsilon

23.06.2009, 10:24

AD

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Eigentlich einfach durch Einsetzen in

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} f(z) = f\left( r\cdot \exp(i \varphi) \right) = i\sqrt[4]{r} \cdot \exp \left( i \frac{\varphi}{4} \right) \end{eqnarray*}$

... für $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}\pi <\varphi < \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(-3) = f\left( 3 \cdot e^{-\pi i} \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

23.06.2009, 13:56

Epsilon82

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Okay,

habe folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} f(-3)= e^{i \cdot \pi \cdot \frac {5} {4}} \end{eqnarray*}$ .
Ist das richtig?

Grüße und danke noch einmal,
Epsilon82

23.06.2009, 16:38

AD

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Nein, ist es nicht - wohin ist denn die 3 verschwunden? Überhaupt miserabel eingesetzt. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(-3) = f\left( 3 \cdot e^{-\pi i} \right) = i \sqrt[4]{3} \cdot e^{-i \cdot \frac{\pi}{4}} = \sqrt[4]{3} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{4}} = \sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ .

25.06.2009, 13:20

Epsilon82

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Hallo Arthur,

okay unglücklich

unglücklich

Kannst du mir das letzte Gleichheitszeichen erklären? verwirrt

verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(-3) = f\left( 3 \cdot e^{-\pi i} \right) = i \sqrt[4]{3} \cdot e^{-i \cdot \frac{\pi}{4}} = \sqrt[4]{3} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{4}}=\sqrt[4]{\frac{3}{4}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ .

Welche Umformung benutzt du da? Ist folgende Gleichheit richtig, wenn ich die letzten beiden Teile durch $\begin{eqnarray*} \sqrt[4] {3} \end{eqnarray*}$ dividiere??

$\begin{eqnarray*} e^{i \pi/4} = \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$

Grüße
Epsilon

25.06.2009, 14:32

Epsilon82

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Hier noch ein Versuch von mir...

Die Gleichung, die ich in meinem letzten Beitrag genannt habe, d. h.

$\begin{eqnarray*} e^{i \pi/4} = \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$

könnte ich mir doch grafisch erklären, oder?
Mein Idee ist, dass $\begin{eqnarray*} e^{i \pi/4} \end{eqnarray*}$ den Einheitskreis darstellt, aufgeteilt in 4 Teile.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ stellt dies ebenfalls dar,
weil der Punkt
$\begin{eqnarray*} (1+i) \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt.

Mit dem Vorfaktor von
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ wäre dies genau die Drehung auf den Punkt von

$\begin{eqnarray*} e^{i \pi/4} \end{eqnarray*}$ ,
der dann wiederum durch den Faktor von
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4] {3} \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist.

Somit ergibt sich für mich eine anschauliche Erklärung für die letzte Gleichheit.
Also dem, wonach ich gefragt hatte.
Kann ich mir dies so erklären?

Grüße und Dank für die Hilfe,
Epsilon

25.06.2009, 16:52

AD

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Du hast ja wirklich das Talent, aus einer Mücke einen Elefanten zu machen:

$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \frac{\pi}{4}} = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Und dass ich den Nenner unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt[4]{4} \end{eqnarray*}$ vorn mit reinbugsiert habe, hatte rein ästhetische Gründe. Hab ja nicht gedacht, dass das jemand derart ins Trudeln bringen könnte...

25.06.2009, 16:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Hab ja nicht gedacht, dass das jemand derart ins Trudeln bringen könnte...

Wirklich nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2009, 17:08

AD

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Zitat:

Original von WebFritzi
Wirklich nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, ich kriege partout nicht diese altmodische Vorstellung aus meinem Schädel, dass Studenten (also Leute mit nachgewiesener Hochschulreife) solche kleineren Schritte zumindest mit längerem Nachdenken (also länger als ein paar Sekunden) bewältigen sollten.

Aber nachdem ich in letzter Zeit hier mehrfach Studenten begegnet bin, die ziemlich gereizt reagierten, als ich sie auf ihre in meinen Augen blamable Unkenntnis der Potenzgesetze angesprochen habe, wundert mich eigentlich gar nichts mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2009, 17:19

WebFritzi

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@Arthur: Ich gewöhne mich langsam daran. So ist es nunmal, und ich muss das akzeptieren. Ärgern tut es mich trotzdem.

Zitat:

Original von Epsilon82
Mein Idee ist, dass $\begin{eqnarray*} e^{i \pi/4} \end{eqnarray*}$ den Einheitskreis darstellt, aufgeteilt in 4 Teile.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$ stellt dies ebenfalls dar,

Nein. Eine Zahl stellt keine Menge dar (außer vielleicht die Menge, die nur die Zahl selber als Element enthält, aber keinen Kreis).

Zitat:

Original von Epsilon82
weil der Punkt
$\begin{eqnarray*} (1+i) \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt.

Überleg dir das nochmal.

Zitat:

Original von Epsilon82
Mit dem Vorfaktor von
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ wäre dies genau die Drehung auf den Punkt von

$\begin{eqnarray*} e^{i \pi/4} \end{eqnarray*}$ ,

der dann wiederum durch den Faktor von
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4] {3} \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist.

Verstehst du das selbst? Ich nicht. Schon den Anfang nicht. Mit der Multiplikation einer reellen Zahl wird nichts gedreht, sondern gestreckt.

26.06.2009, 15:59

Epsilon82

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Hallo Arthur und WebFritzi,

es tut mir leid, dass ihr euch aufregt und bestimmte Schritte für trivial haltet, aber ich habe die Frage gestellt und ihr habt geantwortet Freude

Freude

Dafür danke ich euch,

Arthurs Erklärung habe ich verstanden. Werde gerade solche Umformungen durcharbeiten... schwer sind sie ja nicht, wenn ich genug Erfahrung hätte, um es zu sehen.

Wenn ich Lücken habe, dann möchte ich darauf hingewiesen werden und werde mich bemühen sie so stopfen.

Grüße und bis dahin,

Epsilon

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