Banachraum über lineare Abbildungen

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Duedi Auf diesen Beitrag antworten »
Banachraum über lineare Abbildungen
Hallo!
Ich soll folgendes zeigen:



Wir hatten mit den Raum der linearen und stetigen Abbildungen von nach bezeichnet.

Nach meinem Verständnis muss ich folgendes beweisen: Der Raum ist

  • normiert, wenn normiert ist
  • vollständig, wenn vollständig ist


Beim ersten Punkt habe ich jetzt schon einmal das Problem, dass ich die Norm nicht explizit angeben kann. Außer: Die Norm , die wir in der Übungsaufgabe darüber (die aber mit dieser hier nicht wirklich zusammenhängt) definiert haben, wäre die "Standardnorm", die man auf dieser Menge generell errichtet. Dass diese aber wirklich eine Norm ist, habe ich schon bewiesen und dieser Teil der Aufgabe wäre geschenkt.

Wie ich die Vollständigkeit nachweisen soll, weiß ich noch nicht genau.
Mein Ansatz bisher: ist vollständig. Das heißt: Wenn eine Cauchyfolge ist, so konvergiert sie.
Nun sei eine Folge stetiger linearer Funktionen, die gleichmäßig gegen die Grenzfunktion konvergieren, also:


Das müsste ich doch noch fordern dürfen, oder? Wenn ich jetzt zeige, dass diese Funktionenfolge in der Menge konvergiert, ist die Menge vollständig. Sie liegt aber darin, da der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge stetiger Funktionen wieder stetig ist. Also liegt f in und letztere Menge ist vollständig.

So einigermaßen korrekt oder "vollständig" Augenzwinkern daneben?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Das müsste ich doch noch fordern dürfen, oder? Wenn ich jetzt zeige, dass diese Funktionenfolge in der Menge konvergiert, ist die Menge vollständig. Sie liegt aber darin, da der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge stetiger Funktionen wieder stetig ist. Also liegt f in und letztere Menge ist vollständig.

Das ist etwas verwirrend. Wer liegt "darin"? Was ist und woher nimmst du die Stetigkeit von ? Die sollst du doch gerade zeigen. Dass der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen wieder stetig ist, stimmt, aber habt ihr das wirklich schon so allgemein bewiesen oder bisher nur für reellwertige Funktionen?! Wenn nicht, musst du das nämlich in dieser Aufgabe natürlich noch beweisen.

Zur Vollständigkeit: Sei beliebig, aber fest. Dann gilt für

.

Was kannst du daraus für die Folge in folgern? Und wie geht es dann weiter? Dadurch solltest du eine Grenzfunktion bekommen. Warum ist diese linear? Warum ist sie stetig?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist gerade auch ein bißchen, was ich denn voraussetzen darf. Darf ich annehmen, dass die Funktionenfolge eine Cauchyfolge ist? Wenn ich dann beweisen kann, dass die Grenzfunktion f in der Menge liegt (das meinte ich mit "sie liegt darin", sry), die Cauchyfolge also konvergiert, ist der Raum vollständig, richtig?

Nun also zu deinem Ansatz und gegeben sei diese Cauchy-Funktionenfolge. Die Abschätzung, die du gleich am Anfang machst, kommt von der Normendefinition, die ich in meinem ersten Post geschrieben habe, oder? Wie gesagt, ich bin nicht sicher, ob ich diese spezielle Norm tatsächlich benutzen darf. Oder gilt die Ungleichung immer? Wenn ja, dann hast du mir ja bereits vorgerechnet, wie man beweist, dass die Cauchyfolge konvergiert, da die Differenz zweier Funktionen in der Folge abgeschätzt werden kann. Nur: wie kommt man auf das Epsilon?
Wie es dann mit der Stetigkeit weitergeht, weiß ich im Moment leider nicht.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Mein Problem ist gerade auch ein bißchen, was ich denn voraussetzen darf. Darf ich annehmen, dass die Funktionenfolge eine Cauchyfolge ist?

Du musst beweisen, dass jede Cauchyfolge konvergiert, also gehst du natürlich von einer Cauchyfolge aus.

Zitat:
Original von Duedi
Wenn ich dann beweisen kann, dass die Grenzfunktion f in der Menge liegt (das meinte ich mit "sie liegt darin", sry), die Cauchyfolge also konvergiert, ist der Raum vollständig, richtig?

Nein, so geht das nicht. Welche Grenzfunktion meinst du denn? Du weißt doch noch gar nichts von einer Grenzfunktion, du musst doch erstmal zeigen, dass es eine solche überhaupt gibt!

Zitat:
Original von Duedi
Wie gesagt, ich bin nicht sicher, ob ich diese spezielle Norm tatsächlich benutzen darf.

Sollst du. Wenn du zwei normierte Räume hast, dann versieht man immer stillschweigend mit der zugehörigen Operatornorm. Das ist hier auch gemeint.

Zitat:
Original von Duedi
Wenn ja, dann hast du mir ja bereits vorgerechnet, wie man beweist, dass die Cauchyfolge konvergiert, da die Differenz zweier Funktionen in der Folge abgeschätzt werden kann.

Ich habe dir noch nicht viel vorgerechnet, ganz sicher vor allem noch nicht die Konvergenz. Schreibe bitte mal Schritt für Schritt auf, was man machen muss. Und bei jedem kleinen Schritt, bei dem du nicht weiter weißt, helfe ich dann.

Zitat:
Original von Duedi
Nur: wie kommt man auf das Epsilon?

Man kommt nicht auf das , das ist vorgegeben. Das hast du oben bereits gemacht. Der Beweis beginnt so:

Sei eine Cauchyfolge in und beliebig. Dann existiert ein , sodass für alle stets



gilt. Für ein festes folgt dann für alle auch

.

Und jetzt darfst du, wie gesagt weiter machen.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Finger1 jetzt verstehe ich die Ungleichungskette.

Es gilt also

Aber impliziert das nicht bereits die Existenz einer Grenzfunktion f? verwirrt (jedenfalls in der Menge )
Reicht es wirklich nicht, wenn man zeigt, dass diese linear und stetig ist?
Tur mir Leid wenn ich mich blöd anstelle, aber bei mir hakts irgendwo gerade.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Finger1 jetzt verstehe ich die Ungleichungskette.

Es gilt also

Aber impliziert das nicht bereits die Existenz einer Grenzfunktion f? verwirrt (jedenfalls in der Menge )

Nein, nicht automatisch

Zitat:
Reicht es wirklich nicht, wenn man zeigt, dass diese linear und stetig ist?

Es ist nun wirklich nicht schwer, mit MSS's Ansatz die Existenz der Grenzfunktion zu beweisen und sich diese auch hinzuschreiben. (In Abhängigkeit von den f_n)

Linearität und Stetigkeit musst du anhand dieser dann noch prüfen!
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Aber impliziert das nicht bereits die Existenz einer Grenzfunktion f? verwirrt (jedenfalls in der Menge )

Nicht wirklich. Wenn du das ganze in betrachtest, dann weißt du natürlich, dass es eine Grenzfunktion gibt, gegen die die Folge gleichmäßig konvergiert. Aber jetzt bist du in einem allgemeineren Fall. Der Beweis ist zwar relativ ähnlich, aber hier weißt du es eben noch nicht, sondern musst die Existenz von erstmal beweisen.

Außerdem ist die Formulierung ungenau. Man kriegt durch obige Konstruktion eine Funktion . Das ist aber erstmal a priori keine Grenzfunktion der Folge bezüglich einer bestimmten Norm. Insofern ist das Wort Grenzfunktion eigentlich nicht korrekt (auch ich habe das oben zu ungenau ausgedrückt). Man weiß zunächst nur, dass die Folge 'punktweise' gegen diese Funktion konvergiert, d.h. für jedes feste konvergiert in gegen .
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht weiß ich jetzt, wo bei mir das Verständnisproblem liegt: Möglich, dass ich im falschen Raum denke.

ist im Raum

ist im Raum

Da letzterer bereits ein Banachraum ist, konvergiert die Cauchyfolge der Funktionswerte in .

Jetzt muss ich also zeigen, dass die Cauchyfolge der Funktionen (nicht der Funktionswerte) gegen eine lineare, stetige Funktion konvergiert? Hab ich wenigstens das richtig verstanden?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hatte gehofft, das wird klar, wenn ich an die Normen ranschreibe, in welchen Räumen sie gebildet werden.

Und was wird wohl am Ende die Grenzfunktion sein? Es ist ziemlich naheliegend, wie man für definieren könnte. Augenzwinkern
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Warum darf man sich f definieren? Ich dachte, sei eine beliebige Cauchyfolge. Der Einfachheit halber würde ich f (wenn möglich) als Identität definieren.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst ja einen Grenzwert finden. Für eine beliebige Cauchyfolge kannst du nicht einfach die Identität nehmen. Um eine Grenzfunktion zu finden, musst du eben erstmal eine Funktion definieren, von der du vermutest, dass sie die Grenzfunktion ist. Nichts anderes war mit definieren gemeint. Und das ist jetzt eigentlich klar:

Was sollte für ein wohl sein? Naja wie wärs mit dem Grenzwert der Folge , denn das ist ja eine Cauchyfolge in , also konvergent. Es ist auch irgendwie klar, dass die gleichmäßige Grenzfunktion auch die punktweise Grenzfunktion sein muss. Da man sich zunächst aber nur die punktweise Grenzfunktion verschaffen kann, tut man dies und weist dann umgekehrt nach, dass es tatsächlich die gleichmäßige Grenzfunktion ist.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt verstehe ich was du meinst. Wenn ich dann nachweisen will, dass die Grenzfunktion (punktweise) auch der gleichmäßige Grenzwert ist, muss ich dann mit dre Supremumshalbnorm arbeiten? Aber die muss ja nicht zwangsläufig auf diesem Raum definiert sein. Wie ist gleichmäßige Konvergenz auf so einem Raum darstellbar?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du arbeitest mit der Operatornorm! Konvergenz bezüglich der Operatornorm ist dabei so etwas ähnliches wie gleichmäßige Konvergenz und nichts anderes meinte ich hier. Vergiss also den Ausdruck "gleichmäßige Konvergenz" und benutze einfach die gegebenen Normen.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaah, alles klar. Ich wusste nicht, dass die Operatornorm (so hatten wir sie auch nie genannt) eine so entscheidende Bedeutung hat. Wir haben die eher nebenbei (ich dachte eher als Beispiel) eingeführt. Und den Zusammenhang mit der gleichmäßigen Konvergenz hatten wir auch nicht. Dann ist natürlich alles klar:



Was mich noch stört: Genau das hatten wir doch als Voraussetzung angenommen, oder? Aber wenn die Operatornorm sozusagen die Supremumshalbnorm ist, hätten wir so die gleichmäßige Konvergenz.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kleinerzeichen ist falsch. Außerdem fehlt irgendwie ein Schritt und du hast eine wichtige Sache übersehen: Bevor du überhaupt von einer Operatornorm von reden kannst, musst du zunächst zeigen, dass ein stetiger linearer Operator. Dafür genügt es zu zeigen, dass stetig und linear ist, was man ja sowieso machen muss. Korrekterweise liefe es in folgender Reihenfolge: ist linear (das musst du noch zeigen und das mache ich nicht vor). Für alle ist



für alle . Wegen der Stetigkeit der Norm (!!!) folgt daraus für für alle

.

Damit ist , weil bereits linear, auch Lipschitz-stetig, also erst recht stetig. Warum ist dann auch stetig? Nun folgt noch für alle und alle

.

Durch Übergang zum Supremum ergibt sich

.

Und erst jetzt darf man sagen, dass man damit gezeigt hat, dass in gegen konvergiert. Dabei ist natürlich wichtig, dass man vor dieser Aussage die Linearität und Stetigkeit von gezeigt hat!


Die Operatornorm hat übrigens eine recht große Bedeutung für stetige lineare Operatoren (nur für solche ist sie auch definiert), wie sie (in der Funktionalanalysis) oft vorkommen.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

*edit ** MSS's Post 2sek vor mir enthält mehr und besser erklärt als der ehemalige Post hier*
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Warum ist dann auch stetig?


Weil aus stetig und stetig folgt, dass stetig ist. An die Linearität mache ich mich dann (wahrscheinlich erst morgen, bin langsam zu müde) als Nächstes. Danke euch beiden für eure Hilfe, mir waren diese Zusammenhänge mit gleichmäßiger, punktweiser Konvergenz und den Normen überhaupt nicht bewusst.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem. Aber den Ausdruck der "gleichmäßigen Konvergenz" sollte man in diesem Zusammenhang wirklich vermeiden.

Gleichmäßige Konvergenz nennt man nur die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm. Die Supremumsnorm kann sinnvoll nur auf beschränkten (aber sonst recht frei wählbaren) Funktionen gebildet werden. Eine lineare Abbildung ungleich 0 ist in diesem Sinne NIE beschränkt, d.h. die Operatornorm ist unter keinen Umständen die Supremumsnorm.

Die Operatornorm ist immer eine Norm, die durch die bereits gegebenen Normen der beiden Banachräume induziert wird. Der Sicherheit halber würde ich bei solchen Beweisen, um den Unterschied klarzumachen, immer für die Operatornorm schreiben oder immer sagen " konvergiert gegen bzgl. der Operatornorm"
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt bin ich wieder da. Eine Sache ist mir noch aufgefallen:

Also wie bisher: Eine Cauchyfolge in . Es gilt also:



An dieser Stelle hast du (oder habe ich dich da falsch verstanden?) gesagt, dass hier, da f_n linear ist, aus der Lipschitzstetigkeit die Stetigkeit folgt. Warum ist die Linearität vonnöten? Kann ich denn hieraus nicht bereits folgern, dass die Differenz von f_n und f stetig ist? Denn dann würde ja die Stetigkeit von f sofort impliziert werden (da f_n stetig ist)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hast du falsch verstanden. Zunächst hast du es wieder falsch abgeschrieben, denn durch den Grenzübergang ist es möglich, dass aus dem Kleinerzeichen ein Gleichheitszeichen wird, deswegen musst du



schreiben! Nun habe ich folgendes gesat: Da (nicht !) linear ist, folgt aus obiger Ungleichung die Lipschitzstetigkeit. Ich habe nicht gesagt, dass wegen der Linearität aus der Lipschitzstetigkeit die Stetigkeit folgt, sondern das folgt natürlich einfach so und das war auch erst das nächste Argument. Um aus obiger Ungleichung aber die Lipschitzstetigkeit von (!) zu folgern, braucht man die Linearität.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Warum braucht man dafür die Linearität? Ist das so nicht automatisch die Lipschitzstetigkeit?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Funktion steht dort

.

Ich hoffe, du siehst, dass das nicht Lipschitzstetigkeit ist. Und diese lässt sich daraus für beliebige Funktionen auch nicht folgern. Die Funktion , definiert durch

,

z.B. erfüllt obige Bedingung mit , ist aber nicht lipschitzstetig!

Die Lipschitzstetigkeit von würde so aussehen:

.

Das ist, wie du hoffentlich siehst, etwas anderes. Wenn man es in schreibt, sieht es so aus:

.

Und dies folgt aus der Linearität von und obiger Ungleichung:

.
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