Reihe auf Konvergenz untersuchen

19.06.2009, 17:30

Rubens

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Reihe auf Konvergenz untersuchen

Hiho,

ich habe hier ein paar Reihen, welche auf Konvergenz untersucht werden sollen, aber leider weiss ich oft einfach nicht weiter.

Z.B.:

Summe von n=1 bis unendlich: (-1)^n * ((n+1)² / (n+2)!)

Muss man da das Leibnitzkriterium anwenden? Welcher Grenzwert kommt denn dann für (n+1)² / (n+2)! raus? Unendlich / Unendlich?

oder diese Reihe:

Summe von n=1 bis unendlich: 1 / (1 + (1/n))^n

Hier würde ich das Wurzelkriterium anwenden.... oder kann man da dann einfach für den unteren Term e hinschreiben? Wie würde es dann weiter gehen?

Lg

19.06.2009, 17:42

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Zitat:

Original von Rubens
Muss man da das Leibnitzkriterium anwenden?

Du kannst es anwenden, musst aber nicht. Die (absoluten) Reihenglieder fallen hier so schnell, dass du auch das Quotientenkriterium nehmen kannst.

P.S.: Hier ist auch der Reihenwert noch ganz passabel berechenbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Rubens
oder kann man da dann einfach für den unteren Term e hinschreiben?

Nein, nicht ganz, aber der Nenner konvergiert zumindest gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und damit das Reihenglied gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ . Was sagt das über die Konvergenz der Reihe?

19.06.2009, 17:50

Rubens

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Hio,

schonmal vielen Dank für deine schnelle Hilfe Freude

Freude

Wenn ich bei der ersten Folge das Quotientenkriterium anwende, kann ich ja den alternierenden Teil einfach ignorieren, richtig? Werd ich dann gleich mal ausprobieren.

Zur zweiten Reihe:

da 1/e < 1 konvergiert die Reihe!

Ist das so richtig? :P

Grüße

19.06.2009, 17:56

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Zitat:

Original von Rubens
Wenn ich bei der ersten Folge das Quotientenkriterium anwende, kann ich ja den alternierenden Teil einfach ignorieren, richtig?

Beim Quotientenkriterium wird immer der Betrag des Quotienten aufeinander folgender Reihenglieder herangezogen. Ignoriert wird also höchstens das Vorzeichen, aber nicht ganze "Teile".

Zitat:

Original von Rubens
da 1/e < 1 konvergiert die Reihe!

Ist das so richtig?

Nein, vollkommen verkehrt: Wie lautet die notwendige Bedingung für Reihenkonvergenz? Dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden! Und das ist hier nicht erfüllt.

Also nicht den zweiten Schritt (Testen hinreichender Kriterien) vor dem ersten Schritte (notwendige Bedingung überprüfen) tun!

19.06.2009, 18:25

Rubens

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Beim Quotientenkriterium wird immer der Betrag des Quotienten aufeinander folgender Reihenglieder herangezogen. Ignoriert wird also höchstens das Vorzeichen, aber nicht ganze "Teile".

Ah Oki, alles klar! Das hab ich gecheckt - danke ;-)

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, vollkommen verkehrt: Wie lautet die notwendige Bedingung für Reihenkonvergenz? Dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden! Und das ist hier nicht erfüllt.

Also nicht den zweiten Schritt (Testen hinreichender Kriterien) vor dem ersten Schritte (notwendige Bedingung überprüfen) tun!

Wie könnte man das denn dann mal in einer Klausur schreiben?

So z.B.? Da lim n-->unendlich von 1 / ((1 + (1/n))^n = 1 / e und das ungleich 0, divergiert die Reihe.
Stimmt das so? :P

Und als Ergebnis von dem Quotientenkriterium zur ersten Reihe habe ich raus:

= ((n+2)² (n+2)!) / ((n+3)! (n+1)²)

= (n+2)² / ((n+3) (n+1)²)

Das weiter aufgelöst und mit dem limes führt dann irgendwann zu: 0 / 1 = 0

Ist des richtig?^^

19.06.2009, 18:35

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Zitat:

Original von Rubens
So z.B.? Da lim n-->unendlich von 1 / ((1 + (1/n))^n = 1 / e und das ungleich 0, divergiert die Reihe.
Stimmt das so?

Ja.

Zitat:

Original von Rubens
= (n+2)² / ((n+3) (n+1)²)

Das weiter aufgelöst und mit dem limes führt dann irgendwann zu: 0 / 1 = 0

Ja, sinngemäß Ok.

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19.06.2009, 18:58

Rubens

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Wunderbar! Vielen Dank für deine Hilfe!

Hab aber noch eine Reihe, wo ich mir nicht ganz sicher bin, wie ich vorgehen soll verwirrt

verwirrt

Summe von n=1 bis unendlich: (n²+1) / (n²-1)

Jetzt prüfe ich doch erstmal, ob es eine Nullfolge ist, oder?

Das hätte ich jetzt gemacht, indem ich n² herausziehe, so dass rauskommt:

(n² / n²) * ((1+1) / (1-1)) = 2 / 0

Irgendwas durch Null ist ja nicht gut :P
Hab ich da jetzt irgendwas falsch gemacht oder ist es ein Zeichen dafür, dass die Reihe divergiert? Hammer

Hammer

19.06.2009, 19:29

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Zitat:

Original von Rubens
(n² / n²) * ((1+1) / (1-1)) = 2 / 0

Was hast du denn hier angestellt! geschockt

geschockt

Ich kann nur dunkel erahnen, dass du über

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+1}{n^2-1} = \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

sprichst, was natürlich gegen 1 konvergiert.

19.06.2009, 19:37

Rubens

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Argh, natürlich :P

Den ganzen Tag Mathe lernen macht mich ganz wirr LOL Hammer

LOL Hammer

Also gilt hier für die Reihe auch, dass sie divergiert, weil die Folge keine Nullfolge ist, richtig?^^

Ich habe nun noch eine allerletzte Frage (hoff ich^^), allerdings zu einem ganz anderen Thema: Taylorpolynom

Die Taylerreihe entwickeln und so kann ich eigentlich ohne Probleme, aber hier hab ich ne Aufgabe, wo man aus einem Taylerpolynom 3. Grades die Funktion f(x) angeben soll.
Ich stell hier einfach mal die Aufgabe rein, weil ich damit nichts anfangen kann.

Das Taylorpolynom 3. Grades der Funktion f mit f : R --> R habe am
Entwicklungspunkt x0 = 1 die Form
T3 = -2 + 2(x - 1)² + (x - 1)³.
F¨ur das Restglied Rn(x) von Lagrange gelte R3(x) = 0 f¨ur alle x Element (0, 2).
Geben Sie f(x) explizit an!

19.06.2009, 19:51

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Zitat:

Original von Rubens
Das Taylorpolynom 3. Grades der Funktion f mit f : R --> R habe am
Entwicklungspunkt x0 = 1 die Form
T3 = -2 + 2(x - 1)² + (x - 1)³.
F¨ur das Restglied Rn(x) von Lagrange gelte R3(x) = 0 f¨ur alle x Element (0, 2).
Geben Sie f(x) explizit an!

Wie lautet denn dann genau die Taylorentwicklung mit Restglied $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ - setz doch mal ein!

19.06.2009, 20:13

Rubens

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Sry, keine Ahnung, was du mir sagen willst. Was soll ich wo einsetzen? verwirrt

verwirrt

19.06.2009, 20:14

AD

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Wie lautet denn die Taylorentwicklung mit Restglied?

EDIT: Vergiss es, hab ich ja schon gefragt. Mehr kann ich nicht tun. verwirrt

verwirrt

19.06.2009, 20:20

Rubens

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Meinst du jetzt:

Summe von 0 bis n: (f^(n)(x0) / n!) * (x-x0)^n

wobei f^(n) die jeweiligen Ableitungen sind!

Und für das Restglied: (f^(n+1)(S) / (n+1)!) * (x-x0)^(n+1)

verwirrt

verwirrt

19.06.2009, 20:39

Rubens

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Wolltest du dann auf soetwas hinaus:

T3(x) = ((-2)/0!)*(x-1)^0 + ((2(x-1))/1!)*(x-1)^1 + ((2(x-1))/2!)*(x-1)² + (0/3!)*(x-1)³

?

Hilfe

Hilfe

19.06.2009, 21:24

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Du siehst die Dinge viiiel zu kompliziert: Die Taylorentwicklung mit Restglied besagt ja

$\begin{eqnarray*} f(x) = T_3(x) + R_3(x) = -2+2(x-1)^2+(x-1)^3 + R_3(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Und wenn wie gegeben zumindest für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,2) \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} R_3(x)=0 \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann gilt eben

$\begin{eqnarray*} f(x) = -2+2(x-1)^2+(x-1)^3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,2) \end{eqnarray*}$ ,

das ist schon alles. Natürlich kannst du gern noch ausmultiplizieren und in der üblichen Polynomdarstellung darbieten.

Und falls die Frage kommt: Nein, über die Werte von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ außerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$ kann man mit den Angaben der Aufgabenstellung keine Aussagen treffen. unglücklich

unglücklich

19.06.2009, 21:43

Rubens

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Uff, alles klar Freude

Freude

Ich hätte da jetzt irgendeine "schwierige" Berechnung oder so erwartet ;-)

Danke dir vielmals Prost

Prost

24.06.2009, 15:33

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Arthur Dent
P.S.: Hier ist auch der Reihenwert noch ganz passabel berechenbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und der lautet: $\begin{eqnarray*} 3 \left( \frac 12 - \frac 1e \right) \end{eqnarray*}$

Um das zu sehen musst Du eigentlich nur die Reihendarstellung von $\begin{eqnarray*} xe^x \end{eqnarray*}$ gliedweise integrieren und das Ganze dann für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ auswerten.

24.06.2009, 16:58

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Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Und der lautet: $\begin{eqnarray*} 3 \left( \frac 12 - \frac 1e \right) \end{eqnarray*}$

Nicht ganz - Vorzeichenfehler. Er lautet

$\begin{eqnarray*} 3 \left( \frac 1e - \frac 12 \right) \end{eqnarray*}$ .

Augenzwinkern

Augenzwinkern

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