Taylorreihen

19.06.2009, 21:01

JanFGW

Taylorreihen

Hallo

Die Taylorreihe von sin(x) is ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~((-1)^k* \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

wie lautet die reihe dann bspw für 3sin(2x)?

$\begin{eqnarray*} 3\sum_{k=0}^\infty ~((-1)^k* \frac{2x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ ? kann man das so einfach machen?

mfg
Jan

19.06.2009, 21:13

Duedi

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Wenn der Exponent (2k+1) über dem gesamten Term 2x drüber ist, stimmt das schon.

19.06.2009, 21:24

JanFGW

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und wie mache ich das mit Konstanten "im sinus"? also zB sin(2x+5) ? genauso?
was gibts noch für Fälle in denen das nicht so einfach geht?

19.06.2009, 21:29

Duedi

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Überlegs dir doch einfach so: Schreibe statt $\begin{eqnarray*} a\sin(bx+c) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} a\sin u \end{eqnarray*}$ . Den multiplikativen Faktor kannst du ja ohne Gefahr an die Reihe dranhängen und das u resubstituierst du dann, wenn du die Reihe hast, setzst also statt u einfach den linearen Term ein. Meines Erachtens sollte es da keine Probleme geben, falls du die Substitution richtig durchführst.

19.06.2009, 21:33

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Zitat:

Original von JanFGW
und wie mache ich das mit Konstanten "im sinus"? also zB sin(2x+5) ?

Da muss man schon mal nachfragen, was du jetzt genau willst:

"Irgendeine" Taylorreihe - oder wirklich die im Entwicklungspunkt x=0 (also die Potenzreihe) ? Das ist ein Unterschied: Im ersten Fall kannst du ruhig den Substitutionsvorschlag von Duedi befolgen, im zweiten Fall genügt das nicht.

19.06.2009, 21:38

JanFGW

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Ich meine schon die Taylorreihe
also wie sähe sin(2x+5) dann aus? hab das nicht so ganz verstanden?
einfach das x damit ergänzen?
also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~((-1)^k* \frac{(2x+5)^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

19.06.2009, 21:44

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Zitat:

Original von JanFGW
Ich meine schon die Taylorreihe

Anscheinend hast du meine Anmerkung nicht verstanden:

Es gibt für eine vorgegebene Funktion nicht DIE Taylorreihe - eine Taylorreihe ist immer an den Entwicklungspunkt gebunden.

19.06.2009, 21:45

JanFGW

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naja ich meine die Reihe von n=0 bis oo

Das ander ist für mich ein Taylorpolynom.. mit den Ableitungen und so

19.06.2009, 21:46

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Du hast es immer noch nicht verstanden. unglücklich

19.06.2009, 21:53

JanFGW

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Aber du weist doch was ich meine oder? das selbe wie vorher nur mit +5
ist taylorreihenentwicklung geläufiger?
können wir weg von den spitzfindigkeiten, hin zu meiner Frage kommen? :P

19.06.2009, 21:57

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Da hilft wohl nur ein Beispiel: Die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist bekanntermaßen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n \end{eqnarray*}$ .

Die Taylorreihe derselben Funktion im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ lautet hingegen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e}{n!}(x-1)^n \end{eqnarray*}$ ,

und zwar wegen $\begin{eqnarray*} e^x = e^{1+x-1} = e\cdot e^{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Das sind keine "Spitzfindigkeiten" - aber wenn ich dich störe, dann halte ich mich eben raus. böse

19.06.2009, 22:03

JanFGW

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Du störst mich nicht! es ist nur so das ich morgen Klausur darüber schreibe
da wir das mit den unterschiedlichen entwicklungspunkten nich hatten gehe ich vom ersten aus.

20.06.2009, 10:40

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Na dann hoffe ich mal in deinem Interesse darauf, dass in der heutigen (zum Samstag???) Klausur nicht die Frage nach der Maclaurin-Reihe (d.h. Taylorreihe im Entwicklungspunkt x=0) der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(2x+5) \end{eqnarray*}$ kommt.

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