Unendliche Matrizen zur Beschreibung von Hilbertraum-Endomorphismen

20.06.2009, 12:14

Sly

Unendliche Matrizen zur Beschreibung von Hilbertraum-Endomorphismen

Hallo alle miteinander!
Ich stecke bei folgender Aufgabe irgendwie fest

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} e_i = (0,\dots,0,1,0,\dots) \end{eqnarray*}$ mit einer 1 an der i-ten Stelle die kanonische Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} l^2(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathcal{L}(l^2(\mathbb{N})) \end{eqnarray*}$ ein beschränkter Operator. Definiere dessen Matrixkoeffizienten durch $\begin{eqnarray*} a_{nm} = (ae_m|e_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
a) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch seine Matrixkoeffizienten eindeutig festgelegt wird.
b) Sei $\begin{eqnarray*} C:=\|a\| \end{eqnarray*}$ , so gelten die Ungleichungen
$\begin{eqnarray*} \sup_{n\in\mathbb{N}} \sum_{m\in\mathbb{N}} |a_{nm}|^2 \leq C^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sup_{m\in\mathbb{N}} \sum_{n\in\mathbb{N}} |a_{nm}|^2 \leq C^2 \end{eqnarray*}$
c) Konstruiere eine unendliche Matrix $\begin{eqnarray*} (b_{nm})_{n,m} \end{eqnarray*}$ , sodass zwar die Ungleichungen in b) für ein $\begin{eqnarray*} C\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erfüllt sind, aber die $\begin{eqnarray*} b_{nm} \end{eqnarray*}$ nicht Matrixkoeffizienten eines beschränkten Operators auf $\begin{eqnarray*} l^2(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ sind.

Naja...die a) und b) gingen recht problemlos, da konnte man eben mit der schon vorliegenden Stetigkeit von a argumentieren. In c) hab ich aber so gar keine Ahnung...probiere schon seit Stunden irgendwas, aber nichts klappt. Irgendwie verstehe ich auch gar nicht, wie das gehen soll.

Mein gedanklicher Ansatz ist bisher folgender: (Und das kommt teilweise aus der a))
FALLS zu den Matrixkoeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{nm} \end{eqnarray*}$ ein beschränkter Operator a gehört, so gilt dann für alle $\begin{eqnarray*} x\in l^2(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(x) = a\left( \sum_{m=1}^\infty (x|e_m)e_m\right) = \sum_{m=1}^\infty (x|e_m) a(e_m) = \sum_{m=1}^\infty (x|e_m) \sum_{n=1}^\infty (ae_m|e_n)e_n = \sum_{n=1}^\infty e_n \sum_{m=1}^\infty (x|e_m) a_{nm} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip brauche ich dann eine Doppelfolge mit den Eigenschaften in b), sodass es jedoch eine weitere Quadratsummierbare Folge $\begin{eqnarray*} (c_m) \end{eqnarray*}$ gibt (was den $\begin{eqnarray*} (x|e_m) \end{eqnarray*}$ entspricht) und ein festes n, sodass (o.B.d.A. seien alles positive Zahlen)
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^\infty c_ma_{nm} = \infty \end{eqnarray*}$
Denn das würde dann gerade zu einem Widerspruch zur obigen Umformung stehen.

Aber ich kriege es nicht wirklich hin, mir so ein Beispiel zu überlegen verwirrt

/edit: Ich sehe gerade, dass selbst das Unfug ist...obige Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^\infty c_ma_{nm} \end{eqnarray*}$ muss wegen Cauchy-Schwarz ja konvergieren...ach mist!

Hat jemand eine Idee? Ich nämlich absolut nicht. Danke im Voraus!

20.06.2009, 14:46

Mathespezialschüler

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Hallo!
Ich habe es grad mal mit

$\begin{eqnarray*} b_{nm}=\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)^{m+1} \end{eqnarray*}$

probiert. Wenn ich mich nicht irre, sollte es dann mit $\begin{eqnarray*} x_m=(x|e_m)=\frac{1}{2^{m+1}} \end{eqnarray*}$ funktionieren.

Ich gebe aber keine Garantie, da mich das grad selbst ein wenig irritiert. Vielleicht könntest du mal zeigen, wie du die b) gemacht hast?!

20.06.2009, 17:54

Sly

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Okay. Also folgendermaßen

$\begin{eqnarray*} C^2 = \|a\|^2 \geq \|ae_m\|^2 = \|\sum_{n=1}^\infty (ae_m|e_n)e_n \|^2 = \sum_{n=1}^\infty | (ae_m|e_n)|^2 = \sum_{n=1}^\infty |a_{nm}|^2 \end{eqnarray*}$
Da m beliebig ist, folgt die erste Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} C^2 = \|a\|^2 = \|a^*\|^2 \geq \|a^*e_n\| = \|\sum_{m=1}^\infty (a^*e_n | e_m)e_m \|^2 = \sum_{m=1}^\infty | (a^*e_n| e_m) |^2 = \sum_{m=1}^\infty |(ae_m|e_n)|^2 = \sum_{m=1}^\infty |a_{nm}|^2 \end{eqnarray*}$
Da n wieder beliebig ist, folgt die zweite Ungleichung.

Zu deinem Vorschlag: für m=1 gilt doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_{n1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = \infty \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Hm...ich muss mal überlegen, wie man das vielleicht trotzdem umsetzen kann.

21.06.2009, 11:38

Sly

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Also habe mir die Folge von dir genauer angeschaut und auch in vielen veränderten Formen versucht, abzuschätzen. Aber soweit ich es sehe, klappt es damit nicht.

Meinen Ansatz musste ich natürlich modifizieren:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_m x_m b_{nm} \end{eqnarray*}$ kann wegen Cauchy-Schwartz eh nicht divergieren. Es reicht aber schon, wenn es in Abhängigkeit von n eine betraglich schwach fallende Nullfolge ist, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ , denn dann hätte man eine nicht-quadratsummierbare Folge für die Koeffizienten vor der Orthonormalbasis von einem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und somit einen Widerspruch.

Hmm... verwirrt

21.06.2009, 20:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sly
Zu deinem Vorschlag: für m=1 gilt doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_{n1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = \infty \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Naja das wäre nicht so schlimm. Es geht ja um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~b_{n1}^2 \end{eqnarray*}$ .

edit: Hier stand Mist. Ich hatte mich verrechnet, das Beispiel von oben passt nicht. Entschuldige bitte.

21.06.2009, 22:03

Sly

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Macht ja nix ^^
Ich hab aber immer noch keinen Hauch von einem Ansatz...die Abgabe ist glücklicherweise noch ein wenig hin. Morgen haben wir Übung, vielleicht gibt der Tutor ja mal nen Tipp...

Wenn ich es denn rauskriegen sollte, setze ich es jedenfalls hier rein.

...was natürlich nicht heißt, dass Lösungsvorschläge nicht weiterhin willkommen sind Big Laugh

23.06.2009, 15:43

Sly

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Moin moin...
Die Übung hat stattgefunden, und einen Tipp gab es auch - allerdings konnte ich damit nix anfangen. Diskutiert habe ich mit dem Tutor auch ein wenig, ob der Tipp überhaupt geht, aber er meinte, ja.

Also der Tipp war: Nehme eine Matrix mit immer größer werdenden Diagonalblöcken, in denen immer passend gewählte und gleiche Einträge stehen. Also sowas wie

$\begin{eqnarray*} (b_{nm})_{n,m\in\mathbb{N}} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\ & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \\ & & & \ddots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich nehme mal bewusst dieses Beispiel...denn es ist ja völlig egal, wie schnell die Diagonalblöcke genau wachsen, da können die auch jedes mal doppelt so groß werden. Mit der Wahl $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ sind die Einträge alle gleich und sogar maximal, damit die Ungleichungen erfüllt sind.

Nun verstehe ich aber nicht, warum das nicht einen beschränkten Operator induzieren sollte?! Ich meine, sogar das Gegenteil beweisen zu können. Da mein Tutor sehr sicher war, dass sein Tipp stimmt, wäre es aber nett, wenn ihr euch meinen "Beweis" anschaut und eventuelle Fehler aufdecken könntet.

Also beschreiben wir mal die Matrixkoeffizienten genauer: Definiere
$\begin{eqnarray*} b_{nm} = \begin{cases} 2^{-l/2} &\quad, \exists\; l\in\mathbb{N}_0: l \leq \log_2n, \log_2m < l+1 \\ 0 &\quad , \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dies definiert genau obige Matrix. Sei $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für festes m
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty b_{nm}^2 = \sum_{[\log_2m] \leq \log_2n < [\log_2m]+1} (2^{-[\log_2m]/2})^2 = 2^{[\log_2m]}\cdot 2^{-[\log_2m]} = 1 = C \end{eqnarray*}$
Analog gilt auch für festes n: $\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^\infty b_{nm}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Nun ist die Menge $\begin{eqnarray*} V=\langle e_n | n\in\mathbb{N} \rangle \end{eqnarray*}$ ein dichter Teilraum von $\begin{eqnarray*} l^2(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ . An der Matrixdarstellung sieht man sofort, dass $\begin{eqnarray*} (b_{nm}) \end{eqnarray*}$ eine wohldefinierte lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} b: V\to V \end{eqnarray*}$ induziert.
(Denn $\begin{eqnarray*} (e_n)_n \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von V und jedes dieser Elemente wird auf endliche Linearkombinationen dieser Basis abgebildet)

Nun behaupte ich: Auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ stetig. Ist dies gezeigt, so folgt, dass die stetige Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} l^2(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ existiert und diese hat wieder die gleichen Matrixkoeffizienten, nämlich $\begin{eqnarray*} b_{nm} \end{eqnarray*}$ .

Also es ist $\begin{eqnarray*} V = \langle e_1\rangle \oplus \langle e_2,e_3\rangle \oplus \dots = \bigoplus_{l=0}^\infty \langle e_i | 2^l \leq i < 2^{l+1} \rangle =: \bigoplus_{l=0}^\infty E_l \cong \bigoplus_{l=0}^\infty \mathbb{R}^{2^l} \end{eqnarray*}$

Man erkennt an der Matrixdarstellung, dass die Räume $\begin{eqnarray*} E_l \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ invariant sind. Folglich gilt
$\begin{eqnarray*} \|b\| =\sup_{l\in\mathbb{N}_0} \|b|_{E_l} \| \end{eqnarray*}$

Also genügt es zu untersuchen, welche Norm die Diagonalblöcke haben, wenn $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ wächst. Wegen den gleichen Einträgen sieht man, dass wenn man irgendeine der Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} E_l \end{eqnarray*}$ einsetzt, sagen wir $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , folgt
$\begin{eqnarray*} \|be\|^2 = \left\|\sum_{i=2^l}^{2^{l+1}-1} 2^{-l/2}e_i \right\|^2 = \sum_{i=2^l}^{2^{l+1}-1} 2^{-l} = 1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \|b\|=1 \end{eqnarray*}$ , also stetig.

Oder weiß jemand vielleicht eine Möglichkeit, wie mein Tutor diesen Tipp sonst gemeint haben könnte? Denn mich überzeugt es nicht...

23.06.2009, 18:05

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sly
Man erkennt an der Matrixdarstellung, dass die Räume $\begin{eqnarray*} E_l \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ invariant sind. Folglich gilt
$\begin{eqnarray*} \|b\| =\sup_{l\in\mathbb{N}_0} \|b|_{E_l} \| \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt seh ich nicht ein. Weiterhin genügt es mMn auch nicht, sich nur die Standardbasisvektoren anzugucken, denn z.B. ist

$\begin{eqnarray*} b(0,1,1,0,0,\ldots)=\left(0,\frac{2}{\sqrt{2}},\frac{2}{\sqrt{2}},0,0,\ldots\right) \end{eqnarray*}$

und dies hat die Norm $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4}{2}+\frac{4}{2}}=2 \end{eqnarray*}$ , während die Norm vom Urbild $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+1}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist. Das mit der Opertornorm Eins kann also ganz sicher schon mal nicht stimmen.

Ich denke auch, dass es stimmt, was dein Tutor sagt, denn es ist

$\begin{eqnarray*} b\left(e_{2^l}+\ldots+e_{2^{l+1}-1}\right)=\left(0,\ldots,0,\frac{2^l}{2^{\frac{l}{2}}},\ldots,\frac{2^l}{2^{\frac{l}{2}}},0,\ldots\right) \end{eqnarray*}$ ,

wobei dort genau $\begin{eqnarray*} 2^l \end{eqnarray*}$ von Null verschiedene Einträge stehen. Genauer gilt

$\begin{eqnarray*} b\left(e_{2^l}+\ldots+e_{2^{l+1}-1}\right)=\frac{2^l}{2^{\frac{l}{2}}}\cdot\left(e_{2^l}+\ldots+e_{2^{l+1}-1}\right) \end{eqnarray*}$

und damit ist offenbar

$\begin{eqnarray*} \frac{\left\|b\left(e_{2^l}+\ldots+e_{2^{l+1}-1}\right)\right\|_2}{\left\|e_{2^l}+\ldots+e_{2^{l+1}-1}\right\|_2}=2^{\frac{l}{2}} \end{eqnarray*}$

und das ist für $\begin{eqnarray*} l\to\infty \end{eqnarray*}$ unbeschränkt.

Man könnte sich natürlich auch gleich $\begin{eqnarray*} b(1,1,1,1,\ldots) \end{eqnarray*}$ angucken und zeigen, dass dies nicht quadratsummierbar ist.

23.06.2009, 18:33

Sly

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Ah gut, das war also mein Denkfehler! Ich hab in letzter Zeit wohl eindeutig zu viel mit Isometrien hantiert, daher vielleicht mein voreiliger Schluss mit den Standardbasisvektoren Hammer

Aber vielen Dank, dass du mir das klargemacht hast. Ich werde es wohl so machen, dass ich die Folge betrachte, die bei dir in der drittletzten Zeile steht.

Freude

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