Reihen, Konvergenz |
20.06.2009, 17:06 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Reihen, Konvergenz 1) Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf den Grenzwert a) Es gilt: Stimmt das? b) Es gilt Also die Reihe konvergiert nicht. Kann das sein? Hier noch eine Aufgabe: 2) Sei die Reihe absolut konvergent. Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert. Das habe ich so gemacht : Daraus folgt , so dass mit gilt : Also ist konvergent. Ist das so richtig? Danke |
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20.06.2009, 17:38 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz zu a) Du solltest aber zumindest noch erklären, warum du die Reihe auseinanderziehen darfst. Das ist so nicht ohne weiteres möglich. Ob das Ergebnis stimmt, weiß ich nicht. Bei der geometrischen Reihe solltest du noch beachten, dass diese bei n=0 anfängt! zu b) Ja. Zu 2) Das leuchtet mir nicht ein. Wenn du quadrierst, dann steht das Quadrat meiner Einschätzung nach um die Summe herum, und wie man sieht gilt: Oder habe ich deinen Beweis falsch verstanden . Gruß MI |
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20.06.2009, 18:12 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz zu a) Es ist Also wenn mein Ergebnis stimmt, muss ich nur berechnen? zu 2) Koennte das irgendwie mit Cauchy-Produkt funktionieren? |
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20.06.2009, 18:57 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
2) ist eigentlich trivial wegen für hinreichend große n. |
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20.06.2009, 19:12 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Stimmt.. Monotonie und Also gut, danke fuer die Antworten |
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20.06.2009, 23:19 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Ja, wenn du das vergessen hattest, dann ja. Und wie gesagt: Noch einen Satz schreiben, warum du die Summe auseinanderziehen darfst (à la: die Einzelsummen konvergieren absolut), sonst könntest du in die Falle des Riemannschen Umordnungssatz tappen. Zu 2) hat tmo dir ja die wichtigste und meines Wissens nach kürzeste Idee genannt. Zusammenbasteln musst du dann selbst . Was genau du mit "Monotonie" meinst, ist mir nicht ganz klar... Gruß MI |
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20.06.2009, 23:46 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Damit versuche ich, das fehlende Stueck in dem fertigen Ergebnis zu packen.
Ich dachte, man 'sieht', dass die Reihen geometrisch sind, aber na gut.
ist eine Nullfolge, wenn man die Betraege nimmt, dann ist die Folge monoton fallend.. Ansonsten was koennte die Erklaerung sein?
Gruss zurueck und danke |
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21.06.2009, 00:02 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Naja, es stimmt schon, dass man sieht, dass es hier funktioniert, bzw. du benutzt ja die absolute Konvergenz der Teilreihen. Nur insgesamt sollte man halt vorsichtig sein: Umordnen funktioniert ja bekanntlich nicht immer und später, wenn du Grenzwerte betrachtest, dann wird's nicht besser. Manchmal denkt man sich "ja, da sehe ich, da kann ich den Grenzwert vertauschen" - und leider ist dem übehraupt gar nicht so. Daher wird bei uns darauf Wert gelegt, dass man zumindest einen Satz dazu schreibt, um nicht irgendwann gedankenlos einen Fehler zu machen.
Nein, warum monoton? Die Folge kann doch auch oszillierend gegen Null konvergieren? EDIT: Die REIHE wird natürlich schon monoton - und das brauchst du auch. Aber die FOLGE der Elemente ist es im Allgemeinen NICHT. Der springende Punkt ist tmos Ansatz: Nehmen wir mal an, ab gilt: . Warum ist die Existenz dieses N gesichert (okay, einfach, ich weiß ). Für alle natürlichen Zahlen größer N gilt nun: Richtig? Aber was gilt dann für die Summe (beachte den Startwert): , wenn du sie mit der Summe vergleichst? Das ist zwar noch nicht der Beweis, aber der Rest müsste jetzt gehen . Gruß MI |
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21.06.2009, 00:24 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Dann gilt vielleicht , das ist also eine konvergente Majorante? Fuer die Monotonie - einverstanden |
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21.06.2009, 00:35 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
So stimmt's - über die a_n kannst du keine Aussage treffen . Wobei nach meiner Annahme sogar ein echt kleiner da stehen muss, aber das ist ja im Grunde egal. Ja. Jetzt musst du das nur noch in eine ordentliche Form bringen und dir überlegen, wie du das mit den endlich vielen Summanden vorher noch hinbiegen kannst (gibt's verschiedene Möglichkeiten). Gruß MI |
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21.06.2009, 09:31 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Zu b)
Dieser Grenzwert existiert nicht. Sondern es existieren die Verdichtungspunkte: |
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21.06.2009, 10:17 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Warum? Ohne Betraege kann die Summe nur kleiner sein, oder verstehe ich das falsch?
Was muss ich denn mit diesen Summanden machen? Ich dachte, sie aendern das Konvergenzverhalten eh nicht, oder doch? @eierkopf1 Ich habe auch gemeint, dass er nicht existiert. Das da sollten eigentlich die Grenzwerte zweier Teilfolgen sein, habs nur nicht aufgeschrieben. Trotzdem danke fuer die Anmerkung |
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21.06.2009, 10:28 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Ich kann nur beurteilen, was ich hier lese. Aber gut, dass dir das bewusst ist Statt dem Cauchy-Kriterium hättest du alternativ auch eine Minorante finden können ;-) |
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21.06.2009, 10:44 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Stimmt - sorry, dass ich es nicht gleich dazu geschrieben habe.
Was meinst du mit Minorante? |
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21.06.2009, 10:56 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium#Definition Habe mich vertan, man kann hier damit nur zeigen, dass sie nicht absolut konvergent ist. |
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21.06.2009, 11:13 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Das Kriterium kenne ich, wusste nur nicht wie eine Minorante hier helfen koennte, denn sie muss ja divergent sein. Vielleicht kann man beweisen, dass es keine divergente Minorante geben kann? Naja, mit Majorante klappt es hoffentlich auch. |
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21.06.2009, 13:15 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Die Aussage nach rechts stimmt auch, aber warum sollte: gelten? Es kann doch sein, dass alle Für den Beweis ist's ja irrelevant, weil ja die Folge der Beträge konvergiert und keine Aussage über die andere Folge gemacht wurde. Gruß MI |
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21.06.2009, 13:43 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Meine Ueberlegung sah so aus, wegen :
Und das muss also nicht fuer die zugehoerigen Reihen gelten. Vielen Dank fuer die Hilfe |
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21.06.2009, 14:03 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Oh, stimmt, sorry. Mein Fehler. Natürlich muss gelten: Sei N derart, dass Dann gilt: wie leicht zu sehen - wenn a_n negativ ist, kann das ja sonst schon nicht stimmen War wohl gestern doch zu spät . Gruß MI |
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21.06.2009, 14:13 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Alles klar |
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21.06.2009, 14:30 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz Okay, wunderbar. Dann haben wir's ja quasi. Den Rest bekommst du dann wohl alleine hin. Viel Spaß noch . |
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21.06.2009, 14:37 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Reihen, Konvergenz
Jo, glaub ich auch Danke! |
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21.06.2009, 14:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Anmerkung: Es gibt auch eine für alle gültiige, brauchbare Abschätzung: Die Reihenglieder bilden ja eine Nullfolge. Wie jede konvergente Folge ist also beschränkt, es gibt somit ein mit für alle , was die Abschätzung für alle ermöglicht. |
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21.06.2009, 14:58 | ge88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sieht gut aus. Also das bedeutet : |
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