Reihen, Konvergenz

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ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen, Konvergenz
Hallo,

1) Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf den Grenzwert

a)

Es gilt:

Stimmt das?

b)

Es gilt

Also die Reihe konvergiert nicht. Kann das sein?

Hier noch eine Aufgabe:
2) Sei die Reihe absolut konvergent. Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert.
Das habe ich so gemacht :

Daraus folgt
, so dass mit gilt :


Also ist konvergent.
Ist das so richtig?

Danke smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
zu a)

Du solltest aber zumindest noch erklären, warum du die Reihe auseinanderziehen darfst. Das ist so nicht ohne weiteres möglich. Ob das Ergebnis stimmt, weiß ich nicht. Bei der geometrischen Reihe solltest du noch beachten, dass diese bei n=0 anfängt!

zu b)

Ja.

Zu 2)
Das leuchtet mir nicht ein. Wenn du quadrierst, dann steht das Quadrat meiner Einschätzung nach um die Summe herum, und wie man sieht gilt:



Oder habe ich deinen Beweis falsch verstanden verwirrt .

Gruß
MI
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Wink

zu a)
Es ist
Also wenn mein Ergebnis stimmt, muss ich nur berechnen?

zu 2)
Koennte das irgendwie mit Cauchy-Produkt funktionieren?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

2) ist eigentlich trivial wegen für hinreichend große n.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.. Monotonie und

Also gut, danke fuer die Antworten smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von ge88
Wink

zu a)
Es ist
Also wenn mein Ergebnis stimmt, muss ich nur berechnen?


Ja, wenn du das vergessen hattest, dann ja.
Und wie gesagt: Noch einen Satz schreiben, warum du die Summe auseinanderziehen darfst (à la: die Einzelsummen konvergieren absolut), sonst könntest du in die Falle des Riemannschen Umordnungssatz tappen.

Zu 2) hat tmo dir ja die wichtigste und meines Wissens nach kürzeste Idee genannt. Zusammenbasteln musst du dann selbst Augenzwinkern . Was genau du mit "Monotonie" meinst, ist mir nicht ganz klar...

Gruß
MI
 
 
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von MI
Ja, wenn du das vergessen hattest, dann ja.

Damit versuche ich, das fehlende Stueck in dem fertigen Ergebnis zu packen.

Zitat:
Und wie gesagt: Noch einen Satz schreiben, warum du die Summe auseinanderziehen darfst (à la: die Einzelsummen konvergieren absolut), sonst könntest du in die Falle des Riemannschen Umordnungssatz tappen.

Ich dachte, man 'sieht', dass die Reihen geometrisch sind, aber na gut.

Zitat:
Zu 2) hat tmo dir ja die wichtigste und meines Wissens nach kürzeste Idee genannt. Zusammenbasteln musst du dann selbst Augenzwinkern . Was genau du mit "Monotonie" meinst, ist mir nicht ganz klar...


ist eine Nullfolge, wenn man die Betraege nimmt, dann ist die Folge monoton fallend.. Ansonsten was koennte die Erklaerung sein? Erstaunt1

Zitat:
Gruß
MI

Gruss zurueck Wink und danke
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Naja, es stimmt schon, dass man sieht, dass es hier funktioniert, bzw. du benutzt ja die absolute Konvergenz der Teilreihen.
Nur insgesamt sollte man halt vorsichtig sein: Umordnen funktioniert ja bekanntlich nicht immer und später, wenn du Grenzwerte betrachtest, dann wird's nicht besser. Manchmal denkt man sich "ja, da sehe ich, da kann ich den Grenzwert vertauschen" - und leider ist dem übehraupt gar nicht so.
Daher wird bei uns darauf Wert gelegt, dass man zumindest einen Satz dazu schreibt, um nicht irgendwann gedankenlos einen Fehler zu machen.

Zitat:

a_n ist eine Nullfolge, wenn man die Betraege nimmt, dann ist die Folge monoton fallend.

Nein, warum monoton? Die Folge kann doch auch oszillierend gegen Null konvergieren? EDIT: Die REIHE wird natürlich schon monoton - und das brauchst du auch. Aber die FOLGE der Elemente ist es im Allgemeinen NICHT.

Der springende Punkt ist tmos Ansatz:
Nehmen wir mal an, ab gilt: .
Warum ist die Existenz dieses N gesichert (okay, einfach, ich weiß Augenzwinkern ).
Für alle natürlichen Zahlen größer N gilt nun:

Richtig? Aber was gilt dann für die Summe (beachte den Startwert):
, wenn du sie mit der Summe vergleichst?

Das ist zwar noch nicht der Beweis, aber der Rest müsste jetzt gehen Augenzwinkern .
Gruß
MI
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Dann gilt vielleicht
, das ist also eine konvergente Majorante?

Fuer die Monotonie - einverstanden smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von ge88
Dann gilt vielleicht
, das ist also eine konvergente Majorante?


So stimmt's - über die a_n kannst du keine Aussage treffen Augenzwinkern . Wobei nach meiner Annahme sogar ein echt kleiner da stehen muss, aber das ist ja im Grunde egal.
Ja. Jetzt musst du das nur noch in eine ordentliche Form bringen und dir überlegen, wie du das mit den endlich vielen Summanden vorher noch hinbiegen kannst (gibt's verschiedene Möglichkeiten).

Gruß
MI
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zu b)
Zitat:
Original von ge88



Dieser Grenzwert existiert nicht.

Sondern es existieren die Verdichtungspunkte:

ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von MI
über die a_n kannst du keine Aussage treffen

Warum? Ohne Betraege kann die Summe nur kleiner sein, oder verstehe ich das falsch?

Zitat:
Ja. Jetzt musst du das nur noch in eine ordentliche Form bringen und dir überlegen, wie du das mit den endlich vielen Summanden vorher noch hinbiegen kannst (gibt's verschiedene Möglichkeiten).

Was muss ich denn mit diesen Summanden machen? Ich dachte, sie aendern das Konvergenzverhalten eh nicht, oder doch?


@eierkopf1

Ich habe auch gemeint, dass er nicht existiert. Das da sollten eigentlich die Grenzwerte zweier Teilfolgen sein, habs nur nicht aufgeschrieben. Trotzdem danke fuer die Anmerkung smile
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von ge88
Ich habe auch gemeint, dass er nicht existiert. Das da sollten eigentlich die Grenzwerte zweier Teilfolgen sein, habs nur nicht aufgeschrieben. Trotzdem danke fuer die Anmerkung smile


Ich kann nur beurteilen, was ich hier lese. Aber gut, dass dir das bewusst ist Freude

Statt dem Cauchy-Kriterium hättest du alternativ auch eine Minorante finden können ;-)
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von eierkopf1
Ich kann nur beurteilen, was ich hier lese.

Stimmt - sorry, dass ich es nicht gleich dazu geschrieben habe.

Zitat:
Statt dem Cauchy-Kriterium hättest du alternativ auch eine Minorante finden können ;-)

Was meinst du mit Minorante?
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium#Definition

Habe mich vertan, man kann hier damit nur zeigen, dass sie nicht absolut konvergent ist.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Das Kriterium kenne ich, wusste nur nicht wie eine Minorante hier helfen koennte, denn sie muss ja divergent sein.
Vielleicht kann man beweisen, dass es keine divergente Minorante geben kann? Naja, mit Majorante klappt es hoffentlich auch. smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Original von ge88
Zitat:
Original von MI
über die a_n kannst du keine Aussage treffen

Warum? Ohne Betraege kann die Summe nur kleiner sein, oder verstehe ich das falsch?

Die Aussage nach rechts stimmt auch, aber warum sollte:


gelten? Es kann doch sein, dass alle

Für den Beweis ist's ja irrelevant, weil ja die Folge der Beträge konvergiert und keine Aussage über die andere Folge gemacht wurde.

Gruß
MI
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Meine Ueberlegung sah so aus, wegen :

Zitat:
Für alle natürlichen Zahlen größer N gilt nun:

Und das muss also nicht fuer die zugehoerigen Reihen gelten.

Vielen Dank fuer die Hilfe
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Oh, stimmt, sorry. Mein Fehler.

Natürlich muss gelten:
Sei N derart, dass

Dann gilt:

wie leicht zu sehen - wenn a_n negativ ist, kann das ja sonst schon nicht stimmen Augenzwinkern
War wohl gestern doch zu spät Augenzwinkern .

Gruß
MI
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Alles klar smile
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Okay, wunderbar. Dann haben wir's ja quasi. Den Rest bekommst du dann wohl alleine hin. Viel Spaß noch smile .
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen, Konvergenz
Zitat:
Den Rest bekommst du dann wohl alleine hin. Viel Spaß noch

Jo, glaub ich auch Tanzen
Danke!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung: Es gibt auch eine für alle gültiige, brauchbare Abschätzung:

Die Reihenglieder bilden ja eine Nullfolge. Wie jede konvergente Folge ist also beschränkt, es gibt somit ein mit für alle , was die Abschätzung

für alle

ermöglicht.
ge88 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Also das bedeutet :
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