Ebenengleichung durch Punkte finden

20.06.2009, 21:39

NeedNoNick

Ebenengleichung durch Punkte finden

Hallo, kann mir jemand einen Hinweis geben?
Scheint so als ob ich dauernd etwas Kleines übersehen würde.

Aufgabe:
Geben Sie die Gleichungen der Ebenen an, die parallel zur Ebene
durch die Punkte A=(0,1,4), B=(0,-1,3) und C=(4,2,-3) liegen
und die den Abstand 1/2 vom Ursprung haben.
Der Ursprung liegt dabei zwischen den beiden Ebenen.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{305}} *(15x-4y+8z) = \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Weg zur Lösung:
Bitte einen oder zwei Hinweise! Weil es scheint als ob
ich das falsch angehen würde bzw. ich bekomm was anderes
raus als die Lösung.

21.06.2009, 09:55

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ebenengleichung durch Punkte finden

Zitat:

Original von NeedNoNick
Hallo, kann mir jemand einen Hinweis geben?
Scheint so als ob ich dauernd etwas Kleines übersehen würde.

Aufgabe:
Geben Sie die Gleichungen der Ebenen an, die parallel zur Ebene
durch die Punkte A=(0,1,4), B=(0,-1,3) und C=(4,2,-3) liegen
und die den Abstand 1/2 vom Ursprung haben.
Der Ursprung liegt dabei zwischen den beiden Ebenen.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{305}} *(15x-4y+8z) = \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Weg zur Lösung:
Bitte einen oder zwei Hinweise! Weil es scheint als ob
ich das falsch angehen würde bzw. ich bekomm was anderes
raus als die Lösung.

die korrekte lösung ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{305}} *(15x-4y+8z) =- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

wie du dazu kommst:
1) ebene durch ABC aufstellen.
2) neue ebene(n) mit dem gesuchten abstand mit hilfe der HNF aufstellen
3) zusatzbedingung, "...O liegt ZWISCHEN den beiden ebenen..." beachten

21.06.2009, 12:15

Auf diesen Beitrag antworten »

Werner, da hast du nicht genau gelesen. Du hast die Aufgabe aufgefasst als

Zitat:

Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die parallel zur Ebene durch die Punkte A=(0,1,4), B=(0,-1,3) und C=(4,2,-3) liegt und die den Abstand 1/2 vom Ursprung hat.
Der Ursprung liegt dabei zwischen den beiden Ebenen.

Tatsächlich steht aber da

Zitat:

Original von NeedNoNick
Geben Sie die Gleichungen der Ebenen an, die parallel zur Ebene durch die Punkte A=(0,1,4), B=(0,-1,3) und C=(4,2,-3) liegen und die den Abstand 1/2 vom Ursprung haben.
Der Ursprung liegt dabei zwischen den beiden Ebenen.

Der letzte Satz bezieht sich also auf die zwei gesuchten Ebenen, nicht auf die Ausgangsebene, und ist an sich völlig überflüssig.

21.06.2009, 12:47

NeedNoNick

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!

Aber gibt es da irgendwelche Formeln dazu?
Weis leider noch nicht genau wie das gemeint ist,
mein HTL Lehrer hat letzte Woche gemeint er müsse in
2 Schulstunden Geometrie machen doch das war mir zu schnell unglücklich

21.06.2009, 13:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten geht das über die Hessesche Normalform der Ebenen. Dazu brauchst du deren Normalenvektor, der bei allen drei hier zu betrachtenden Ebenen gleich ist, da sie einander parallel sind.

Und diesen (zunächst unnormierten) Normalenvektor berechnet man am schnellsten als Vektorprodukt von zwei Vektoren, die die Ebene aufspannen, z.B. $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ .

Ob das alles in nur zwei Stunden Geometrie behandelt wurde, wage ich zu bezweifeln. Allerdings bezweifle ich ebenfalls, dass es nur zwei Stunden waren.

21.06.2009, 15:41

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Werner, da hast du nicht genau gelesen. Du hast die Aufgabe aufgefasst als

Zitat:

Tatsächlich steht aber da

Zitat:

Der letzte Satz bezieht sich also auf die zwei gesuchten Ebenen, nicht auf die Ausgangsebene, und ist an sich völlig überflüssig.

ich schäme mich.
die !sinnlosigkeit" des zusatzes hat mich in die irre geleitet,
ist also doch ein test für dumme wie mich Augenzwinkern