f einmal stetig differenzierbar

20.06.2009, 23:18

schmouk

f einmal stetig differenzierbar

Hi, it's me again,

kann mir mal bitte jemand ein Beispiel für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} C^{1}(X;\mathbb{R}^m) \end{eqnarray*}$ geben?

21.06.2009, 20:20

Mathespezialschüler

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein?

21.06.2009, 20:38

schmouk

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hm... das ist keine Aufgabe die zu lösen ist, ich möchte einfach nur ein einfaches Beispiel für eine Funktion aus der Menge $\begin{eqnarray*} C^{-1}() \end{eqnarray*}$ meinet wegen mit IR,IR.

21.06.2009, 20:54

Mathespezialschüler

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Hä? $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ ! verwirrt

21.06.2009, 20:58

schmouk

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ah ja cool, natürlich. has du noch ein zwei etwas interessantere? das wär nett smile

21.06.2009, 22:16

Sly

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

...ist dir denn klar, was stetig differenzierbar heißt? Man kennt nämlich normalerweise dutzende solcher Beispiele zu sehen.

21.06.2009, 22:22

schmouk

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naja, ich leite ab, falls differenzierbar und die ableitung ist zumindest eine stetige abbildung. oder? oder NUR stetig?

21.06.2009, 22:28

Sly

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Das ist etwas ungenau. Wenn du allgemein eine Funktion in mehreren Variablen hast, was meinst du dann mit "ich leite ab und erhalte eine differenzierbare Abbildung"?

21.06.2009, 22:33

schmouk

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hab ich ja nicht geschrieben. ich leite ab, erhalte eine ableitung, einen gradienten, eine jacobimatrix und sind die dann stetig, war die funktion eine stetig differenzierbare.

21.06.2009, 22:39

Sly

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Ja richtig. Alternativ reicht auch "stetig partiell differenzierbar", das ist nämlich äquivalent.

Du siehst also, es gibt sehr viele Beispiele...sämtliche Funktionen, die du aus der Schule kennst, die meisten Funktionen, die man sich so spontan hinschreibt.

Jedoch gehören auch sehr sehr viele Funktionen nicht dieser Klasse an. Und darum geht es gerade.

21.06.2009, 22:44

schmouk

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ja dann hätten wir das ja geklärt. aber hättest du denn vielleicht ein beispiel für eine nicht stetig differenzierbare funktion?

21.06.2009, 22:56

Mathespezialschüler

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Jede Funktion, die nicht einmal differenzierbar ist, ist erst recht nicht stetig differenzierbar.

Falls du ein Beispiel für eine differenzierbare Funktion mit unstetiger Ableitung möchtest, bitte sehr: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} & \text{für }x\neq 0 \\ 0 & \text{für }x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

22.06.2009, 10:36

schmouk

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Also dann ist es so, sagen wir ich habe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ irgendein Endomorphismus.

f ist dann einmalstetig differenzierbar wenn $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ stetig ist.

ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ auch wieder diefferenzier ist $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ sowieso stetig, das ist klar. ist dann aber $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ auch wieder stetig aber nicht differenzierbar, so heißt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann 2 mal Stetig differenzierbar und ist $\begin{eqnarray*} \in C^2(X,X) \end{eqnarray*}$ ?

Ja? Hab ich das richtig efasst?

22.06.2009, 17:33

Mathespezialschüler

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Ja, bis auf das Wort Endomorphismus, was hier völlig fehl am Platze ist, stimmt das.

Endomorphismen sind i.A. lineare Abbildungen von Vektorräumen in sich. Soweit ich das nun aber verstanden habe, geht es hier um differenzierbare Abbildung, also um eine analytische Eigenschaft. Und das können natürlich auch ganz andere Abbildungen sein als lineare Abbildungen.

22.06.2009, 17:42

schmouk

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ja klar, natürlich, es muss nicht zwingend ein endomorphismus sein. aber es ist nicht verkehr einen endomorphismus als besipiel für eine stetig differenzierbare abbildung zu nehmen, oder? also zum beipspiel kann eine abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ doch stetig differenzierbar sein, oder nicht?

wo wir grad dabei sind: gibt es denn eigentlich abbildungstypen, die auf gar keinen fall stetig differenzierbr sein können?

grüße,

schmouk

22.06.2009, 17:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von schmouk
ja klar, natürlich, es muss nicht zwingend ein endomorphismus sein. aber es ist nicht verkehr einen endomorphismus als besipiel für eine stetig differenzierbare abbildung zu nehmen, oder? also zum beipspiel kann eine abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ doch stetig differenzierbar sein, oder nicht?

Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Endomorphismen gehören eher zum Gebiet der linearen Algebra. Jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums in sich ist unendlich oft differenzierbar, das stimmt. Sogar jede lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist unendlich oft differenzierbar.

Zitat:

Original von schmouk
wo wir grad dabei sind: gibt es denn eigentlich abbildungstypen, die auf gar keinen fall stetig differenzierbr sein können?

Keine Ahnung, was du da hören willst. Jede unstetige Funktion ist z.B. schonmal nicht differenzierbar, erst recht also nicht stetig differenzierbar. Eine sinnvolle Funktionsklasse nicht stetig differenzierbarer Funktionen würde mir nicht einfallen, aber solche Fragen sind mMn auch nicht wirklich weiter bringend.

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