Satz über implizite Funktion

21.06.2009, 13:06

Sabinee

Satz über implizite Funktion

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y):=x^5+5x^4-16y^2,M:=\{(x,y)\in \mathbb R^2: f(x,y)=0\} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ in allen Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq 0 \end{eqnarray*}$ lokal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden kann.

Versuchen Sie (z.B mit Hilfe der lokalen Auflösungen) so viel über die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ herauszubekommen. dass Sie sie skizzieren können. Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Untermannigfaltigkeit?

Zunächst habe ich die partiellen Ableitungen gebildet:

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=5x^4+20x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=-32y \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=0 \Leftrightarrow y=0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ folgt allerdings: $\begin{eqnarray*} x^5+5x^4=x^4(x+5)=0 \Rightarrow x=0 \vee x=-5 \end{eqnarray*}$ .

In $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ also weder nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lokal auflösbar.

In $\begin{eqnarray*} (-5,0) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f_y(-5,0)=0 \end{eqnarray*}$ also nicht nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lokal auflösbar und $\begin{eqnarray*} f_x(-5,0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ also lokal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösbar.

In allen Punkten $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_y(x,y)\neq 0 \end{eqnarray*}$ also lokal nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösbar.

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ ist in allen Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ lokal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösbar.

So weit so gut, ich glaube bis hierhin sieht das doch ganz gut aus oder?

Für den Fall, dass die Funktion nach $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ auflösbar ist gilt:

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{\frac{x^5+5x^4}{16}} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet: $\begin{eqnarray*} g(x)=-g(x) \end{eqnarray*}$

Das könnte für die Skizzierung der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wichtig sein.

Nun wollte ich $\begin{eqnarray*} x^5+5x^4-16y^2=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen, allerdings scheitere ich hier kläglich. Wie kann ich hier vorgehen?

Danke

21.06.2009, 18:03

Leopold

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Ich habe mir deine Rechnung jetzt nicht angeschaut. Aber warum zeichnest du nicht erst einmal die beiden Graphen

$\begin{eqnarray*} y = \pm \frac{1}{4} x^2 \sqrt{x+5} \, , \ \ x \geq -5 \end{eqnarray*}$ (EDIT: Definitionsbereich ausgebessert)

Überall dort, wo keine waagerechten oder senkrechten Tangenten oder Doppelpunkte sind, ist die lokale Auflösung möglich. Bei waagerechten Tangenten ist die Auflösung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht möglich, bei senkrechten Tangenten die nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Zugleich hast du mit den Graphen auch die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ skizziert, denn aus denen besteht die ja gerade.

21.06.2009, 18:16

Sabinee

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Hier sind die beiden Funktionen:

Meine erste Frage dazu. Wieso ist beim Graph die Funktion bei $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$ nicht definiert?

Es ist doch: $\begin{eqnarray*} \pm\frac{1}{4}5^2\cdot \sqrt{-5+5}=0 \end{eqnarray*}$

Wieso betrachtest du die Funktion überhaupt nur für $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ liegt ein Doppelpunkt und eine waagerechte Tangente vor, also ist die Auflösung dort nicht möglich. Wie bei mir in der Rechnung.

21.06.2009, 21:58

Leopold

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Zitat:

Original von Sabinee
Wieso betrachtest du die Funktion überhaupt nur für $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$

Ich habe -5 gemeint, aber -1 geschrieben. Entschuldige!

Die Funktion ist bei -5 auch definiert. Der Graph besitzt dort eine senkrechte Tangente. Nur kann der Plotter das nicht richtig darstellen.

22.06.2009, 15:17

Sabinee

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Okay, gut zu wissen.

Wie kann ich jetzt nachprüfen ob es sich um eine Untermannigfaltigkeit handelt? Da habe ich keine Idee bislang.

22.06.2009, 16:56

system-agent

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Dazu solltest du erstmal preisgeben wie ihr eine Untermannigfaltigkeit definiert habt, denn da gibt es unterschiedliche (aber natürlich äquivalente) Definitionen.

22.06.2009, 16:59

Leopold

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Ich glaube, du hast bei $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ nicht alle Möglichkeiten untersucht. Da gibt es noch mehr Nullstellen. Auch die Zeichnung zeigt ja waagerechte Tangenten. In diesen Punkten kann nicht nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden.

Eine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -dimensionale Untermannigfaltigkeit sieht lokal wie der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^k \end{eqnarray*}$ aus. Hier kommt nur $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ in Frage. Sieht also $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung eines jeden seiner Punkte wie eine Strecke aus? Dann wäre $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Das Wort "Strecke" darfst du hier nicht wörtlich nehmen. Die Strecke darf durchaus gekrümmt sein.

22.06.2009, 21:18

Sabinee

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Ja das stimmt allerdings:

Es ist: $\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=5x^4+20x^3=5x^3(x+4)=0\Rightarrow x=0 \vee x=-4 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} f(-4,y)=0\Rightarrow y_{1,2}=\pm 4 \end{eqnarray*}$

Dort ist aber $\begin{eqnarray*} f_y(-4,\pm 4)\neq 0 \end{eqnarray*}$ also ist eine Auflösung nach x nicht möglich, dafür aber eine lokale Auflösung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt dazu, wie wir Untermannigfaltigkeit definiert haben:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heißt eine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -dimensionale glatte Fläche oder Untermannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U=U(x_0)\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , ein glattes Parametergebiet $\begin{eqnarray*} P\subset \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ , einen Parameter $\begin{eqnarray*} u_0\in P \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -dimensionales glattes parametrisiertes Flächenstück $\begin{eqnarray*} \varphi: P\mapsto \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(u_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(P)=M\cap U \end{eqnarray*}$ gibt.

Da gefällt mir deine (Leopold) Beschreibung einer Untermannigfaltigkeit schon viel besser, auch wenn es das gleiche bedeutet.

Also da ich die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ anhand des Graphen sehe, würde ich sagen dass es zu jedem Punkt aus der Menge eine Umgebung gibt, so dass es in der Umgebung wie eine Strecke aussieht.

Allerdings, wie soll ich das mathematisch erklären und beweisen?

23.06.2009, 07:16

Leopold

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Blick in den Ursprung:

[attach]10810[/attach]

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[attach]10812[/attach]

23.06.2009, 10:09

system-agent

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RE: Satz über implizite Funktion

Zitat:

Original von Sabinee
Also da ich die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ anhand des Graphen sehe, würde ich sagen dass es zu jedem Punkt aus der Menge eine Umgebung gibt, so dass es in der Umgebung wie eine Strecke aussieht.

Allerdings, wie soll ich das mathematisch erklären und beweisen?

Zitat:

Original von Sabinee
In $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ also weder nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lokal auflösbar.

Und was sagt nun der Satz von der impliziten Funktion?

23.06.2009, 13:33

Sabinee

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RE: Satz über implizite Funktion
Der Satz von der impliziten Funktion sagt dann aus, dass es keine Auflösung $\begin{eqnarray*} g(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ gibt.

Dies ist aber wohl notwendig für eine Untermannigfaltigkeit verwirrt

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