Auswahl der sinnvollen Gleichungen zur überprüfung der Unabhängigkeit bei n Ereignissen

21.06.2009, 15:56

Anon

Auswahl der sinnvollen Gleichungen zur überprüfung der Unabhängigkeit bei n Ereignissen

Hallo erstmal.

Ich benötige dringend Hilfe.

Ich stehe vor der Aussage das es bei der Unabhängigkeit von 3 Ereignissen ausreicht vier sinnvoll aus den acht Bedingungen

P(A geschnitten B geschnitten C) = P(A)P(B)P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C) = P(A')P(B)P(C)
P(A geschnitten B' geschnitten C) = P(A)P(B')P(C)
P(A geschnitten B geschnitten C') = P(A)P(B)P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C) = P(A')P(B')P(C)
P(A' geschnitten B geschnitten C') = P(A')P(B)P(C')
P(A geschnitten B' geschnitten C') = P(A)P(B')P(C')
P(A' geschnitten B' geschnitten C') = P(A')P(B')P(C')

gewählten Gleichungen zu beweisen.

ich soll nun diese Aussage beweisen, auf "n" Ereignisse verallgemeinern und angeben wie viele der 2^n Gleichungen zu beweisen sind.

vielen Dank im Voraus,
Anon

21.06.2009, 16:04

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$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn für jede beliebige Auswahl $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_k \end{eqnarray*}$ dieser Ereignisse (mit $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ ) die Gleichung

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{j=1}^k A_j \right) = \prod\limits_{j=1}^k P(A_j) \end{eqnarray*}$

gilt.

Wieviele solche Auswahlen gibt es? Nun genau

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \binom{n}{k} = 2^n - \sum_{k=0}^1 \binom{n}{k} = 2^n-n-1 \end{eqnarray*}$ .

Diese Anzahl ist ausreichend. Bleibt noch zu zeigen, dass sie auch notwendig ist.

21.06.2009, 16:36

Anon

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vielen Dank für die schnelle Antwort

es ist jedoch genau der Beleg der Notwendigkeit dieser Anzahl von Gleichungen, der mir Schwierigkeiten bereitet.

mein einziger Ansatz währe bis jetzt
(bis jetzt auf genau 3 Ereignisse bezogen lässt sich aber auch verallgemeinern)

$\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ anzahl der Gleichungen (soweit klar)
$\begin{eqnarray*} -n \end{eqnarray*}$ weil für jedes A, das man durch sein Gegenereigniss ersetzt das genaue gegenteil also dieses A ist als einziges nicht durch das Gegenereigniss ersetzt worden wegfällt (reine spekulation)
$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ für den Fall, dass alle ereignisse ins gegenteil verkehrt sind.

mein Problem:
-ich bin im Momment nicht in der Lag meine aussagen über "-n" zu beweisen (denkblockade/aussage falsch ?!?)
-ich kann als Lösungsweg nur "Raten" angeben

mit einem Ansatz zur beweisführung oder wenigstens einem Tipp wo man ihn herbekommt währe mir also sehr geholfen. (und natürlich mit einer Bewertung meines Lösungsvorschlages)

21.06.2009, 17:01

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Sei $\begin{eqnarray*} f(n) = 2^n-n-1 \end{eqnarray*}$ die Anzahl der aureichenden Gleichungen

Versuche doch, die durch vollständige Induktion zu beweisen. Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} f(n) = 2f(n-1)+n-1 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen...

21.06.2009, 18:45

Anon

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hmmm vollständige induktion schein echt nützlich zu sein.

aber eine Frage hätte ich noch:
woher kommt
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1~k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
eigentlich?
eine Formel beweisen können ist super aber ich wüsste gerne wo sie herkommt

21.06.2009, 19:04

Anon

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um den vorherigen post zu ergänzen

ich beschäftige mich jetzt mit vollständiger Induktion und das prinziep ist mir auch klar, ich verstehe nur nicht wie man von
$\begin{eqnarray*} f(n) = 2^n-n-1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f(n) = 2f(n-1)+n-1 \end{eqnarray*}$ kommt.

die andere Frage bezieht sich auf die zweite Formel im zweiten Beitrag (nur um Missverständnissen vor zu beugen, ich hab da ein k zu viel in der Summe stehen)

21.06.2009, 19:20

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Zitat:

Original von Anon
ich verstehe nur nicht wie man von $\begin{eqnarray*} f(n) = 2^n-n-1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f(n) = 2f(n-1)+n-1 \end{eqnarray*}$ kommt.

Setz ein und du siehst, dass es gilt.

Das wichtige ist aber die Umkehrung, d.h., dass man aus $\begin{eqnarray*} f(n) = 2f(n-1)+n-1 \end{eqnarray*}$ sowie dem Startwert $\begin{eqnarray*} f(2)=1 \end{eqnarray*}$ die explizite Formel $\begin{eqnarray*} f(n) = 2^n-n-1 \end{eqnarray*}$ folgern kann.

Zitat:

Original von Anon
die andere Frage bezieht sich auf die zweite Formel im zweiten Beitrag

Da stehen ganz normale kombinatorische Auswahlanzahlen für zwei- bis n-elementige Teilmengen von {1,...,n}.

21.06.2009, 19:39

Anon

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die Schreibweise ist mir schon geläufig, aber wie kommt man darauf von der Gesamtmenge der Gleichungen ausgerechnet die Summe von k aus n für k läuft von 0 bis 1 abzuziehen.
ich sollte in der Lage sein den Lösungsweg zu erklären (Referat für den LK)

ist fraglich ob es zielführend ist zu sagen:"die Formel hab ich aus einem Forum und mann kann sie mit vollständiger Induktion beweisen(hier müsste ich auch das noch schnell erklären) und nein ich weiss nicht wo die bestandteile der Formel im einzelnen herkommen..."

es ist schonmal ein vortschritt das ich eine Formel habe die ich beweisen kann, nur verstehe ich sie leider nicht, ich könnte sie anwenden aber ich kann sie nicht nachvollziehen.

und noch etwas: ich beweise doch mit vollständiger Induktion das die Formel allgemeingültig ist. ch kann mit ihr aber nicht begründen, das sie tatsächlich die anzahl der gleichungen, die ch mindestens zu betrachten habe angibt, oder?

ich bräuchte vermutlich weniger einen beweis als viel mehr eine Herleitung der Formel um meinen Mitschülern zu vermitteln wieso genau dieser Zusammenhang besteht und nicht etwa (2^n)/2(oder was auch immer)

21.06.2009, 19:41

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Zitat:

Original von Anon
die Schreibweise ist mir schon geläufig, aber wie kommt man darauf von der Gesamtmenge der Gleichungen ausgerechnet die Summe von k aus n für k läuft von 0 bis 1 abzuziehen.

Durch logisches Denken:

Eine Teilmenge einer n-elementigen Menge kann 0,1,2,...,n Elemente enthalten. Wenn ich also von der Gesamtanzahl $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ aller Teilmnengen die Anzahlen aller 2,3,...,n-elementigen Teilmengen abziehe, was bleibt dann übrig? Die 0- und 1-elementigen Teilmengen!!!

21.06.2009, 20:01

Anon

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ok.
jetzt hat es klick gemacht.
ich wusste das ich irgendeinen Punkt übersehe.
vielen dank für deine Hilfe, ich hätte sonst noch stunden den Wald vor bäumen nicht gesehen.

deine Formel beschreibt also die sinnvollen Auswahlmöglichkeiten

dann bleibt nur noch die frage: muss ich alle diese Gleichungen berechne um die Unabhängigkeit zu beweisen oder lässt sich das noch weiter einschränken (in dem ich beispielsweise nur die n-Elementigen Gleichungen betrachte)?

21.06.2009, 20:27

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Nein, es genügt nicht. Versuche, ein entsprechendes Gegenbeispiel zu konstruieren. Das ist nicht einfach, aber machbar.

21.06.2009, 20:35

Anon

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gut damit währe alles geklärt
vielen Dank

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