Eigenwert orthogonaler Matrizen

21.06.2009, 16:01

Max Simon

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Eigenwert orthogonaler Matrizen

Hallo.

Wir sollen zeigen:

Wenn A orthogonal und |A|=1, also A aus SO(n), dann ist 1 ein Eigenwert von A, wenn n gerade ist.

Dabei sollen wir benutzen, dass $\begin{eqnarray*} A(A^{T} \pm E)=E \pm A \end{eqnarray*}$ .

Der Ansatz $\begin{eqnarray*} |A-\lambda E| = 0 \end{eqnarray*}$ bringt mich nicht weiter.

Wie muss ich hier ansetzen, damit ich das zeigen kann?

Dankeschön

21.06.2009, 16:41

Max Simon

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RE: Eigenwert orthogonaler Matrizen
nach unzähligen Versuchen, schreib ich dann hier mein Problem rein und promt fällt mir was neues ein...

Ich schreib mal meine Idee hin:

$\begin{eqnarray*} |A- \lambda E| = |A - \lambda (A^{T}A)| = |A(E- \lambda A^{T})| = |A|*|E- \lambda A^{T}| = |E- \lambda A^{T}| =0 \end{eqnarray*}$
=> A^T muss Diagonalmatrix sein (denn außerhalb der Hauptdiagonalen darf ja nix abgezogen werden). Weil detA=detA^T=1 folgt dann, dass das Produkt aller Elemente der Hauptdiagonalen von $\begin{eqnarray*} \lambda A^{T} \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ haben muss.

Weil ja aber 0 rauskommen muss, muss die Diagonale den Wert 1 haben, also Lambda=1.

Aber dabei hab ich ja nicht mit eingebracht, dass n gerade ist.
Somit kann das hier nicht stimmen unglücklich

unglücklich

Aber vlt kann man ja was davon gebrauchen

21.06.2009, 18:02

Max Simon

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RE: Eigenwert orthogonaler Matrizen
Wenn $\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, dann ist $\begin{eqnarray*} A^{T} \end{eqnarray*}$ symmetrisch, also $\begin{eqnarray*} A^{T}=A \end{eqnarray*}$

Somit erhalte ich folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} |A- \lambda E| = |E - \lambda A| = 0 \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} A- \lambda E = E- \lambda A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ .

Nun hab ich scheinbar gezeigt, dass alle quadratischen Orthogonalmatrizen A mit detA=1 -1 als Eigenwert haben.
Dummerweise war das nicht meine Aufgabe.

Kann mir bitte jemand helfen?

21.06.2009, 20:53

Mathespezialschüler

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Ich verstehe nicht, was du getan hast, es sieht aber sehr falsch aus! Wenn du deine Gedanken dazu äußern würdest, könnte man vielleicht gezielter verbessern.

Die Aussage ist falsch, denn $\begin{eqnarray*} -E \end{eqnarray*}$ hat nur den Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aber die Determinante $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

21.06.2009, 21:48

Max Simon

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ok ich fang am Besten nochmal von vorne an.

Wir haben zu zeigen, dass jede quadratische orthogonale Matrix A (n x n) mit detA = 1 bei geradem n den Eigenwert 1 hat.

Meine Gedanken dazu:

A orthogonal, d.h. $\begin{eqnarray*} AA^{T} = A^{T}A = E. \end{eqnarray*}$

Ansatz für die Berechnung von Eigenwerten:

$\begin{eqnarray*} |A- \lambda E| = |A- \lambda (A^{T}A)| = |A(E- \lambda A^{T})| = |A|*|E- \lambda A^{T}| = |E- \lambda A^{T}| = 0 \end{eqnarray*}$

Doch nun weiß ich nicht, wieso daraus folgt, dass für gerade n A den Eigenwert 1 hat.
Die Ideen oben scheinen wirklich ziemlich falsch zu sein, also ignorieren wir diese mal.
Dass n gerade sein muss, muss ja was damit zu tun haben, dass man aus jeder Zeile/Spalte den Faktor -1 aus der Determinante herrauszieht und somit ein Faktor $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ vor der Determinante steht. Dieser Faktor muss dann sicherlich 1 werden.

Aber mir fällt nix ein, wie ich zu einer solchen Situation komme.

Deswegen brauch ich eure Hilfe.

21.06.2009, 22:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
$\begin{eqnarray*} |A- \lambda (A^{T}A)| = |A(E- \lambda A^{T})| \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist etwas ungenau, um nicht zu sagen falsch. Wenn du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach links ausklammern willst, hättest du $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} AA^T \end{eqnarray*}$ ersetzen müssen.

Zur Aufgabe: Ich habe oben schon einmal gesagt, dass die Aufgabenstellung falsch ist. Das Negative der Einheitsmatrix, $\begin{eqnarray*} -E \end{eqnarray*}$ , hat nur den Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , aber für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \det(-E)=(-1)^n=1 \end{eqnarray*}$ . Also stimmt die Aufgabenstellung nicht.

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21.06.2009, 22:54

Max Simon

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Also das klingt soweit logisch, aber ich kann doch nicht hinschreiben, dass das, was wir beweisen sollen, gar nicht so ist^^

Nochmal zur Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} A := -E \in \mathbb R ^{(2m \times 2m)} \end{eqnarray*}$ (n=2m) ist eine Orthogonalmatrix - klar.
detA = 1, wie du oben richtig gezeigt hast, da aus jeder Spalte (-1) herrausgezogen wird, also insgesamt $\begin{eqnarray*} (-1)^{2m}=1 \end{eqnarray*}$ .

Annahme 1 ist Eigenwert:

Dann $\begin{eqnarray*} |-E-1E|=|-2E|=2^{n}\neq 0. \end{eqnarray*}$ Wiederspruch. Also 1 kein Eigenwert.

Kann es denn sein, dass man hier in der Aufgabenstellung eigentlich schrieben wollte, dass n ungerade sein muss?

21.06.2009, 22:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
Also das klingt soweit logisch, aber ich kann doch nicht hinschreiben, dass das, was wir beweisen sollen, gar nicht so ist^^

[...]

Kann es denn sein, dass man hier in der Aufgabenstellung eigentlich schrieben wollte, dass n ungerade sein muss?

Doch, wenn die Aufgabenstellung falsch ist, dann schreibt man dies hin und begründest es mit einem entsprechenden Gegenbeispiel.

Ja, es kann sein, dass sie das wollten. Du kannst dir ja mal überlegen, wie man das machen würde. Tipp: Was kannst du über die Eigenwerte der Matrix aussagen? Was ist ihr Produkt?

22.06.2009, 10:29

Max Simon

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hm.

Also die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix haben den Betrag 1, also kommen sowieso nur 1 und -1 in Betracht.

Allerdings komme ich nach der Annahme, dass 1 ein Eigenwert ist einfach nicht zu einer Gleichung wie z.B. $\begin{eqnarray*} A = (-1)^{n}*A \end{eqnarray*}$ .

Als Hinweis haben wir noch, dass $\begin{eqnarray*} E-A = A(A^{T}-E) \end{eqnarray*}$

Daher hatte ich noch folgende Idee:

$\begin{eqnarray*} 0=|A-1*E|=|A-E|=|(-1)(E-A)|=(-1)^{n}|E-A|=(-1)^{n}|A(A^{T}-E)|= (-1)^{n}|A||A^{T}-E|=(-1)^{n}|A^{T}-E| \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann aber, dass $\begin{eqnarray*} |A-E|=|A^{T}-E| \Rightarrow A=A^{T} \end{eqnarray*}$ , also A symmetrisch und dass kann ja nicht sein, wie man z.B. an der Drehmatrix im IR² sieht. Außerdem spielte es hier ja keine Rolle, ob n gerade oder ungerade ist.

Also Fazit: Ich komm einfach nicht weiter.

Was meinst du mit Produkt?

22.06.2009, 17:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
Daraus folgt dann aber, dass $\begin{eqnarray*} |A-E|=|A^{T}-E| \Rightarrow A=A^{T} \end{eqnarray*}$ , also A symmetrisch und dass kann ja nicht sein, wie man z.B. an der Drehmatrix im IR² sieht.

Richtig. Du machst sehr grobe Fehler, bemerkst sie dann auch, kannst aber nicht sagen, wo sie liegen.

Du hast oben folgendermaßen argumentiert (zumindest scheint es so): Wenn zwei Matrizen die gleiche Determinante haben, dann sind sie gleich. Das ist aber absolut falsch!

Also: Eine orthogonale Matrix hat nur Eigenwerte vom Betrag Eins, das ist korrekt. Dass nur $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in Betracht kommen, ist wiederum falsch, siehe Drehmatrix! Es kann nämlich auch komplexe Eigenwerte geben und das wird es im Algemeinen auch.

Jeder komplexe Eigenwert tritt aber zusammen mit seinem komplexen Konjugierten als Eigenwert auf (warum?). Sei also $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ die Anzahl der komplexen Eigenwerte. Dann bleiben $\begin{eqnarray*} n-2k \end{eqnarray*}$ reelle Eigenwerte, wobei $\begin{eqnarray*} n-2k \end{eqnarray*}$ ungerade ist. Als reelle Eigenwerte kommen wirklich nur $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in Frage. Kann nun $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ als Eigenwert mit der Vielfachheit $\begin{eqnarray*} n-2k \end{eqnarray*}$ auftauchen?

22.06.2009, 19:47

Max Simon

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oh, ich hab vergessen, zu erwähnen, dass sich alles in IR abspielen soll.

Das mit den Vielfachheiten ist auch so eine Sache, die mir nicht so richtig in den Kopf will.

Also ich weiß, dass die algebraische Vielfachheit die Anzahl des Auftretens eines Lambda als Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Geometrische Vielfachheit ist immer mindestens 1 und höchstens die algebraische Vielfachheit, welche maximal n sein kann.
Damit eine Matrix diagonalisierbar ist, müssen geometrische und algebraische Vielfachheit für alle Lambda übereinstimmen.

Das ist dann aber auch alles, was mir dazu einfällt. Weitere Folgerungen dazu kenne ich nicht.

Ich hab dafür noch ne andere Idee.

Ich hab die ganze Zeit versucht, aus $\begin{eqnarray*} |A- \lambda E| \end{eqnarray*}$ zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Nun hab ich, glaube ich einen Weg gefunden, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |A-E|=0 \end{eqnarray*}$ , was ja impliziert, dass $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} |A-E|=|A^{T}||A-E|=|E-A^{T}|=|(E-A)^{T}|=|E-A|=|(-1)(A-E)|=(-1)^{n}|A-E| \end{eqnarray*}$

n ist ungerade. Also

$\begin{eqnarray*} |A-E|=-|A-E| \Rightarrow 2|A-E|=0 \Rightarrow |A-E|=0 \Rightarrow \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ist EW.

Ich hoffe, das man das wirklich so machen kann, aber ich glaube schon.

Kannst du mir vielleicht trotzdem erklären, wieso die Vielfachheit nicht n-2k sein kann?
Ich vermute mal, dass der Grund ist, dass n-2k ungerade ist. Aber weil die Hauptdiagonale ja n Elemente hat, kommen ja auch n Lambdas ins Spiel. Also ist das charakteristische Polynom wahrscheinlich vom Grad n (ungerade), sodass ja doch alle rellen Lösungen -1 sein könnten...

Oh Mann - ich hab noch mächtig viele Lücken...

Danke schonmal für deine Mühen mit mir!

22.06.2009, 20:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Max Simon
$\begin{eqnarray*} |A-E|=|A^{T}||A-E|=|E-A^{T}|=|(E-A)^{T}|=|E-A|=|(-1)(A-E)|=(-1)^{n}|A-E| \end{eqnarray*}$

n ist ungerade. Also

$\begin{eqnarray*} |A-E|=-|A-E| \Rightarrow 2|A-E|=0 \Rightarrow |A-E|=0 \Rightarrow \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ist EW.

Das sieht gut aus!

Zitat:

Original von Max Simon
Kannst du mir vielleicht trotzdem erklären, wieso die Vielfachheit nicht n-2k sein kann? Ich vermute mal, dass der Grund ist, dass n-2k ungerade ist.

So ist es. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.06.2009, 01:17

Mathespezialschüler

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Komplexe Eigenwerte treten immer konjugiert auf. Wenn ich also alle komplexen Eigenwerte multipliziere, kommt Eins heraus, da das Produkt von zwei komplex konjugierten komplexen Zahlen das Quadrat des Betrags gibt und dies in diesem Fall Eins ist. Wenn man also alle Eigenwerte miteinander multipliziert, kommt das Produkt der reellen Eigenwerte heraus. Andererseits ist das Produkt der Eigenwerte die Determinante der Matrix und diese soll Eins sein. Wären alle reellen Eigenwerte $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , so würde

$\begin{eqnarray*} -1=(-1)^{n-2k}=\det A=1 \end{eqnarray*}$

folgen. Das geht nicht. Also muss Eins mindestens einmal als Eigenwert auftauchen.

23.06.2009, 12:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Also muss Eins mindestens einmal als Eigenwert auftauchen.

Und das hatest du ja bereits gezeigt, Max. Lehrer

Lehrer

23.06.2009, 18:10

Mathespezialschüler

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Ja natürlich. Das ist auch vollkommen korrekt. Ich wollte nur noch auf seine Frage antworten:

Zitat:

Original von Max Simon
Kannst du mir vielleicht trotzdem erklären, wieso die Vielfachheit nicht n-2k sein kann?
Ich vermute mal, dass der Grund ist, dass n-2k ungerade ist.

23.06.2009, 19:04

WebFritzi

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Ich hatte extra Max angesprochen, damit DU dich nicht angesprochen fühlst. Oder heißt du auch Max? Big Laugh

Big Laugh

23.06.2009, 19:09

Mathespezialschüler

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Das habe ich schon verstanden (auch wenn ich tatsächlich zufällig Max heiße), aber es sah so aus, als wolltest du darauf hinweisen, dass mein Beitrag mehr oder weniger überflüssig sei. Bzw. ich habe einfach nicht verstanden, was du damit ausdrücken willst. Dementsprechend wollte ich dich jetzt darauf hinweisen, dass er danach gefragt hatte, wie mein Lösungsansatz weiter geht.

25.06.2009, 00:44

Max Simon

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ROFL

Ich hoffe, alle Missverständnisse sind ausgeräumt

Vielen Dank nochmal euch beiden! Habt mir sehr geholfen!

LG Max

PS: Ist doch wirklich ein sehr schöner Name, oder nicht? smile

smile

25.06.2009, 03:46

WebFritzi

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Mein Bruder heißt auch so. smile

smile

Maxespezialschüler. Hehe. Big Laugh

Big Laugh

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