Beweis für komplexes Skalarprodukt

21.06.2009, 17:44

cloudshine

Beweis für komplexes Skalarprodukt

Ich habe folgendes komplexes Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \langle x , y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k^* y_k \end{eqnarray*}$

und möchte die Eigenschaften des Skalarprodukts beweisen. Die Linearität (bei mir im 2. Argument) und die Antilinearität hab ich schon gezeigt. Bei der Symmetrie bin ich mir nicht sicher:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_k^* y_k = \sum_{k=1}^n (y_k x_k^* )^* = \langle y , x^*\rangle^* = \langle y , x \rangle^* \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Und für die Positivität zeig ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_k^* x_k = \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schon im Voraus

21.06.2009, 19:27

Reksilat

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RE: Beweis für komplexes Skalarprodukt
Hallo cloudshine,

Also das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x_k^* y_k = \sum_{k=1}^n (y_k x_k^* )^* \end{eqnarray*}$

stimmt nicht. Allerdings gilt $\begin{eqnarray*} x^*y=yx^*=(y^*x)^* \end{eqnarray*}$

Die Positivität ist korrekt. Was Antilinearität sein soll, musst Du mir aber noch erklären.

Gruß,
Reksilat.

21.06.2009, 21:06

cloudshine

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RE: Beweis für komplexes Skalarprodukt
Aaah, vielen Dank schon mal!

Ich hab das jetzt (mit deinem Hinweis) so gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \langle x , y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k^* y_k = \sum_{k=1}^n y_k x_k^* = \sum_{k=1}^n (y_k^* x_k)^* = \langle y , x \rangle^* \end{eqnarray*}$

Die Antilinearität im ersten Argument (Physiker-Notation) hab ich so gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \langle \lambda_1 x + \lambda_2 x' , y \rangle = \sum_{k=1}^n (\lambda_1 x_k + \lambda_2 x'_k)^* y_k = \sum_{k=1}^n (\lambda_1 x_k)^* y_k + (\lambda_2 x'_k)^* y_k = \sum_{k=1}^n \lambda_1^* x_k^* y_k + \sum_{k=1}^n \lambda_2^* x^*_k y_k = \lambda_1^* \sum_{k=1}^n x_k^* y_k + \lambda_2^* \sum_{k=1}^n x'^*_k y_k = \lambda_1^* \langle x, y \rangle + \lambda_2^* \langle x', y \rangle \end{eqnarray*}$

Korrekt?

Gruß,

cloud

22.06.2009, 01:06

Reksilat

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RE: Beweis für komplexes Skalarprodukt
Und wieso heißt das dann Antilinearität? verwirrt

Jedenfalls kann man das ja aus der Symmetrie ableiten, wenn man die Linearität im zweiten Argument schon hat:
$\begin{eqnarray*} <\lambda_1x_1+\lambda_2x_2,y>=<y,\lambda_1x_1+\lambda_2x_2>^* =(\lambda_1^*<y,x_1>+\lambda_2^*<y,x_2>)^* \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lambda_1<y,x_1>^*+\lambda_2<y,x_2>^*=\lambda_1<x_1,y>+\lambda_2 <x_2,y> \end{eqnarray*}$

Der Beweis für Symmetrie passt. Freude

Gruß,
Reksilat.

22.06.2009, 21:19

cloudshine

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Also, was ich eigentlich gemeint hab: das Skalarprodukt ist sesquilinear: antilinear in der ersten Komponente und linear in der zweiten Komponente (Physiker-Definition also).

Die Antilinearität in der 1. Komponente deshalb

$\begin{eqnarray*} \langle \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 , y \rangle = \langle y, \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \rangle ^* = \lambda_1^* \langle y, x_1 \rangle ^* + \lambda_2^* \langle y, x_2 \rangle ^* = \lambda_1^* \langle x, y \rangle + \lambda_2^* \langle x, y \rangle \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Also so zumindest hab ich das im Skriptum stehen, deshalb komm ich auf den ganzen verwirrenden Schmarrn Augenzwinkern

Anyway, vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe!

Gruß von der Wolke!

22.06.2009, 23:40

Reksilat

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Ah, OK. Dann ist das natürlich Quatsch, was ich oben geschrieben habe. (Also nicht direkt Quatsch, aber hier passt es eben nicht.)
Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

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