Normalverteilungsfunktion

21.06.2009, 18:20

Luci

Normalverteilungsfunktion

Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich leider überhaupt nicht weiterkomme.

Aufgabe:
Es wurden 100 unabhängige Bernoulli-Versuche durchgeführt, in denen das Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 eintritt. Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass die absolute Differenz der relativen Häufigkeit $\begin{eqnarray*} H_n \end{eqnarray*}$ von A zu 1/4 kleiner als 0,1 ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} p=P(|H_n-1/4| < 0,1) \end{eqnarray*}$

Hinweis: Drücken Sie die Approximation mit Hilde der standadisiertren Normalverteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ aus.

Meine Ansätze:
ich weiß also n=100, p=1/4
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(A)= \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix} * (1/4)^k * (3/4)^{100-k}, \, H_n = k/100 \end{eqnarray*}$
und aus $\begin{eqnarray*} |H_n -1/4| < 0,1 \end{eqnarray*}$ lässt sich folgern: 15 < k < 35

Dann weiß ich auch noch:

$\begin{eqnarray*} \Phi (x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * \int_{-\infty}^{x}~e^{-\frac{y^2}{2}}~dy \end{eqnarray*}$

Jetzt komm ich leider nicht weiter. Bin für jede Hilfe dankbar.
LG Luci

21.06.2009, 23:05

frank09

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Du hast ja jetzt versucht, direkt über die Binomialverteilung zu gehen. Aufgabe ist es doch, es über die N-verteilung zu approximieren. Du kannst $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ aus der Binomialverteilung ablesen und daraus die entsprechende N-Verteilung bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \Phi (x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}~e^{-\frac{1}{2}(\frac{y-\mu}{\sigma})^2}~dy \end{eqnarray*}$

22.06.2009, 11:00

Luci

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RE: Normalverteilungsfunktion
so.. ich hab dann jetzt folgende Rechnung (mit merkwürdigem Ergebnis) wäre schön, wenn da mal jemand drüber gucken könnte.

$\begin{eqnarray*} \mu = EX = n*p = 100 * 1/4 = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{n*p*(1-p)} = \sqrt{100*1/4*3/4} = \frac{5*\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} P(-0,1 < (H_n-1/4) < 0,1) = P(\frac{x_1-\mu}{\sigma} <Z=\frac{(H_n-1/4)-\mu}{\sigma} < \frac{x_2-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(-5,796 < \frac{(H_n-1/4)-25} {\frac{5*\sqrt{3}}{2}} < -5,750) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(-6 \leq Z \leq -5) = \Phi(-5) - \Phi(-6) = 1-\Phi(5) - (1-\Phi(6)) = 1-1-(1-1) =0 \end{eqnarray*}$

Vielen Danke schon einmal

22.06.2009, 12:17

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Wenn $\begin{eqnarray*} X \sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Erfolge im Bernoulli-Experiment ist, dann besteht der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} H_n = \frac{X}{n} \end{eqnarray*}$ zur relativen (!!!) Häufigkeit der Erfolge.

Du dagegen hast gerechnet, als wäre $\begin{eqnarray*} H_n=X \end{eqnarray*}$ . Mit dieser fehlenden Normierung musste natürlich die Rechnung gegen den Baum gehen.

22.06.2009, 13:15

Luci

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also $\begin{eqnarray*} H_n = k/100 \end{eqnarray*}$ mit k= Anzahl der Eintretenden Ereignisse A
aber was hab ich davon. Im Grunde benutz ich das doch eh nicht, sondern nur die veränderten $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

Oder?

EDIT: verbesserung

22.06.2009, 13:26

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du dagegen hast gerechnet, als wäre $\begin{eqnarray*} H_n=X \end{eqnarray*}$ .

Dem habe ich erstmal nichts hinzuzufügen. Überprüf deine Rechnung und sieh es ein - Diskutieren zwecklos. Augenzwinkern

22.06.2009, 19:06

Luci

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hab es danke smile

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