Komplexe Gleichung lösen

18.09.2006, 19:08

CrazyWolf

Komplexe Gleichung lösen

Hallo,

habe vor wenigen Tagen mit komplexen Zahlen angefangen. Das Rechnen damit ist ja nicht wirklich kompliziert. Jetzt wollte ich aber meine erste algebraische Gleichung lösen und habe nicht so wirklich den Durchblick wie ich an die Aufgabe herangehen soll.

Kann mir jemand ein paar Denkanstöße geben?

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x+j}{x-j})^{2}=j^{-25} \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist "x" aus dieser Gleichung. Und genau das Vorhandensein einer Variablen ist neu für mich. Wie soll ich die Aufgabe lösen?

Hier mal ein paar Schritte die ich gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+2xj+j^{2}}{x^{2}-2xj+j^{2}} = j^{-1} \end{eqnarray*}$

// habe also ausmultipliziert und wegen $\begin{eqnarray*} j^{4n+1} ist j^{-25} = j^{-1} \end{eqnarray*}$

so...dann ist das im Bruch stehende $\begin{eqnarray*} j^{2}=-1 \end{eqnarray*}$ also folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+2xj-1}{x^{2}-2xj-1} = j^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt frage ich mich wie ich weiter vorgehen soll??? verwirrt

18.09.2006, 19:20

klarsoweit

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RE: Komplexe Gleichung lösen
Ich weiß nicht, ob es geschick war, die Klammer auszumultiplizieren. Ich würde erstmal $\begin{eqnarray*} z = \frac{x-j}{x+j} \end{eqnarray*}$ setzen und die entsprechende Gleichung lösen.

EDIT: im weiteren Verlauf hat man sich entschieden, die Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{x+j}{x-j} \end{eqnarray*}$ zu verwenden. Das geht natürlich auch. Bei meinem Vorschlag hätte man sich die Umrechnung 1/j = -j erspart. Augenzwinkern

18.09.2006, 19:57

penizillin

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und $\begin{eqnarray*} j^{-1} = -j \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

18.09.2006, 20:06

CrazyWolf

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hmm...ok...habe jetzt den Bruch ersetzt und löse folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^{2}=-j \end{eqnarray*}$

erhalte als Lösungen:

$\begin{eqnarray*} z0 = -0,5\sqrt{2}+j \cdot 0,5\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1 = 0,5\sqrt{2}-j\cdot 0,5 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

18.09.2006, 20:20

penizillin

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resubstitution:

$\begin{eqnarray*} z_0 = \frac{x+j}{x-j})^{2} \end{eqnarray*}$ und z_1 eben auch.

auflösen und koeffizienten (also, re und im) vergleichen.

18.09.2006, 20:40

CrazyWolf

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Ok...

z0 = (Bruch)^2

$\begin{eqnarray*} -0,5\sqrt{2}+j \cdot 0,5\sqrt{2}= \frac{x^{2}+2xj-1}{x^{2}-2xj-1} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich den ganzen Quatsch aufgelöst und erhalte folgendes (eine kurze Prüfung von euch wäre net schlecht)

$\begin{eqnarray*} -x^{2}-2xj-0,5 \sqrt{2}j+1,7071 = 0 \end{eqnarray*}$

naja....so dolle bin ich wohl net in Mathe...was kommt jetzt?

Wie löse ich das für "x" ??? traurig

18.09.2006, 20:43

penizillin

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hint 1:

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 + j \cdot 0 \end{eqnarray*}$

hint 2:

2 komplexe zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre reele und imaginären teile exakt übereinstimmen.

=> macht daraus 2 gleichungen.

18.09.2006, 20:47

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Zitat:

Original von CrazyWolf
$\begin{eqnarray*} -0,5\sqrt{2}+j \cdot 0,5\sqrt{2}= \frac{x^{2}+2xj-1}{x^{2}-2xj-1} \end{eqnarray*}$

NEIN! Die Wurzel hast du doch schon gezogen!

Also geht es weiter mit

$\begin{eqnarray*} -0,5\sqrt{2}+j \cdot 0,5\sqrt{2}= \frac{x+j}{x-j} \end{eqnarray*}$

18.09.2006, 20:47

CrazyWolf

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Ich verstehe gerade nicht so wirklich was du meinst?!? verwirrt

18.09.2006, 21:00

CrazyWolf

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Also geht es weiter mit

$\begin{eqnarray*} -0,5\sqrt{2}+j \cdot 0,5\sqrt{2}= \frac{x+j}{x-j} \end{eqnarray*}$ [/quote]

ich erhalte also nach dem ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} -1,7071x+j\cdot 0,5\sqrt{2}x-0,2929j+0,5 \sqrt{2}=0 \end{eqnarray*}$

so...wie löse ich jetzt auf?

18.09.2006, 21:46

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Wie löst du denn im reellen eine lineare Gleichung $\begin{eqnarray*} ax+b=0 \end{eqnarray*}$ auf, wie z.B. $\begin{eqnarray*} 7x+11=0 \end{eqnarray*}$ ?

Genauso machst du es hier, nur eben mit komplexen Koeffizienten. Die Rechenregeln mit komplexen Zahlen (+,-,*,/) kennst du doch, oder?

18.09.2006, 22:00

CrazyWolf

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Ok...

habe das schon wiefolgt gemacht:

$\begin{eqnarray*} -1,7071x+j\cdot 0,5\sqrt{2}x = -0,5 \sqrt{2}+j\cdot 0,2929 \end{eqnarray*}$

so dann auf der linken Seite x ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} x(-1,7071+j0,5\sqrt{2})=RS \end{eqnarray*}$

und dann erhalte ich für x folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{(-0,5\sqrt{2}+j0,2929)}{(-1,7071+j0,5\sqrt{2})} \end{eqnarray*}$

ok...wenn das so richtig ist, dann habe ich es verstanden...

IST ES KORREKT??? unglücklich

19.09.2006, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von CrazyWolf
$\begin{eqnarray*} -0,5\sqrt{2}+j \cdot 0,5\sqrt{2}= \frac{x+j}{x-j} \end{eqnarray*}$

Bis hier war es ok. Multipliziere mit x - j, aber ersetze die Wurzel(2) nicht durch angenäherte Dezimalzahlen. Ich kann daher auch nicht den weiteren Rechenablauf nachvollziehen.

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