Umkehrfunktionen

22.06.2009, 00:07

Mr-Teddy

Umkehrfunktionen

Hallo,

ich habe heute einige Probleme mit Umkehrfunktionen. Und zwar sind zwei Funktionen gegeben und ich soll herausfinden ob sie bijektiv sind. Ist eine nicht bijektiv, muss der Definitions- und/oder Bildbereich geändert werden, so dass sie bijektiv wird. Und dann mal eben noch die Umkehrfunktion davon bilden.

Funktion 1:

y = 3x + 1

Der Definitionsbereich ist scheinbar $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$
und der Wertebereich $\begin{eqnarray*} y \in R \end{eqnarray*}$
Man kann schon erkennen, das jedes Element der Wertemenge genau einmal getroffen wird und die Funktion daher bijektiv sein muss. Aber wie rechnet man das richtig nach, für den Fall, dass man das mal nicht direkt sieht?
Die Umkehrfunktion habe ich dann so erhalten:
$\begin{eqnarray*} f(x) = 3x + 1<br /> \frac{f(x) - 1}{3} = x<br /> f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3} \end{eqnarray*}$
Richtig?

Funktion 2:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2x - 1} \end{eqnarray*}$
Ich denke der Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} { x \in R | x \geq 0,5} \end{eqnarray*}$
und der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} { y \in R | y \geq 0} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so?
Hier kann man natürlich auch gleich erkennen, dass es sich um keine bijektive Funktion handelt. Aber wie funktioniert das jetzt mit dem ändern des Definitions- oder Bildbereichs? Und ändert das irgendetwas an der Berechnung der Umkehrfunktion?

22.06.2009, 08:24

klarsoweit

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RE: Umkehrfunktionen
Funktion 1 ist richtig.

Zitat:

Original von Mr-Teddy
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2x - 1} \end{eqnarray*}$
Ich denke der Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} { x \in R | x \geq 0,5} \end{eqnarray*}$
und der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} { y \in R | y \geq 0} \end{eqnarray*}$
Stimmt das so?

Ja.

Zitat:

Original von Mr-Teddy
Hier kann man natürlich auch gleich erkennen, dass es sich um keine bijektive Funktion handelt.

Woran willst du das denn erkennen? Die Funktion ist nämlich bijektiv. smile

22.06.2009, 21:33

Mr-Teddy

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Ja okay stimmt, ist auch bijektiv ^^ Ich glaube ich hab da bei der Definition kurz was verwechselt.

Nun gut, dann zur Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{2x - 1}<br /> \frac{f(x)^2 + 1 }{2} = x<br /> f(x) = \frac{x^2 + 1}{2} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Funktion und die Umkehrfunktion mal skizziert und dabei fiel mir auf, das die Umkehrfunktion eine Parabel bildet, die Funktion selbst aber nur eine halbe Parabel, da ja x nicht $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ sein kann. Stimmt die Umkehrfunktion trotzdem?

23.06.2009, 09:19

klarsoweit

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Etwas verworren, das ganze. Erstmal ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 1}{2} \end{eqnarray*}$ . Diese gilt nur für x >= 0, so daß du nur eine halbe Parabel hast. Die Funktion selbst ist keine Parabel.

PS: Ein Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.

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