Kurvenintegral berechnen und auf Wegunabhängigkeit überprüfen

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dersmu81 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral berechnen und auf Wegunabhängigkeit überprüfen
Hallo,

ich sitz hier grad an ein paar Aufgaben zu besagtem Thema.

Aufgabenstellung: Berechnen sie die Kurvenintegrale und untersuchen sie diese auf Wegunabhängigkeit





nun weiß ich leider gar nicht wie ich anfangen soll.
ist es hier sinnvoll bei nach t umzustellen, um die integrationsgrenzen festzustellen, dann wüsste ich aber nicht wie ich bei vorgehen soll.
dersmu81 Auf diesen Beitrag antworten »

hab mich noch ein wenig in das thema eingelesen...aber so richtig schlau werd ich nicht daraus.

hab jetzt mal für die Parameterschreibweise genommen





dann würde sich ergeben



jetzt meine Frage: Ist das richtig oder totaler Nonsens?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dersmu81


[...]


Korrektur:


P.S.: Angesichts dieser Frage nach der Wegunabhängigkeit frage ich mich, ob beim zweiten Weg nicht eher

mit

gemeint sein könnte - dann würden nämlich Anfangs- und Endpunkt dieser Kurve mit denen von übereinstimmen... verwirrt
dersmu81 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den korrekturhinweis, die 2 hatt ich vollkommen übersehen.

ja, das mit der ist mir auch aufgefallen, aber in der Aufgabenstellung steht eine 7, und unser Prof. hat sich nicht dazu geäußert. allerdings gab es in den Aufgaben schon mehrmals Tipfehler.

aber zu dem rest der Aufgabe, ist das korrekt, so wie ich gerechnet hab? mal von der einen Ableitung abgesehen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Jedes Kurvenintegral kannst du dir als die mechanische Arbeit vorstellen, die du entgegen einem Kraftfeld entlang einer beliebig gekrümmten Kurve verrichten musst – z.B. beim Fahrradfahren gegen ein ortsabhängiges Windfeld.

Das zugehörige Kurven Integral lautet

W=Int F dx_____(1)

Dabei ist F=[F1|F2] das Kraftfeld und dx=[dx1|dx2] das Differenzial einer gegebenen Kurve x=[x1|x2]. Letztere ist durch einen Parameter t parametrisiert (z.B. die Zeit t, mit der du die Kurve fährst), also x1=x1(t) und x2=x2(t).

Zuesrt sollte man den Kraftvektor und die Kurve fein säuberlich in Vektorform aufschreiben.

Ich zeige dir mal anhand der Kurve k2, wie man derartige Kurvenintegrale rein praktisch berechnet. Das Prinzip besteht darin, dass man das Differenzial dx=[dx1|dx] und die Kraft F=[F1|F2] derart umformt, dass beide nur noch vom Parameter t abhängen:

Umformen des Kurvendifferenzials
------------------------------------------------
Die Kurve K2 ist eine Gerade und lautet

x=[x1|x2]=[(7+t)/3|t+3]_____(2)

Ableiten der Kurve nach der Zeit ergibt den Tangentenvektor

dx/dt=(t/3|1)

Umstellen nach dem Differenzial dx ergibt

dx=(t/3|1)*dt_____(3)

Nun hängt das Differenzial dx=[dx1|dx2] wie gewünscht nur noch von t ab.

Umformen der Kraft:
-------------------------
Die Kraft lautet in Vektorform (für beide Kurven K1 und K2)

F=(F1|F2)=(x/y|-y/x)_____(4)

Einsetzen von x1 und x2 aus (2) ergibt die Kraft auf der konkreten Kurve

F=[(7+t)/3(t+3)|-3(t+3)/(7+t)]_____(5)

Jetzt hängt auch die Kraft wie gewünscht nur noch von t ab.

Einsetzen des Differenzial (3) und der Kraft (5) in das Integral (1) ergibt ein Integral, das wie gewünscht nur noch von t abhängt.

E=Int [(7+t)/3(t+3)|-3(t+3)/(7+t)]*[t/3|1] dt_____(6)

Die beiden eckigen Klammer [...|...] sind Vektoren. Also ist der Integrand [...|...]*[...|...] in (6) ein Skalarprodukt, das man wie üblich ausmultiplizieren muss. Das ergibt

E=Int (7+t)/3(t+3)*t/3-3(t+3)/(7+t) dt

Dies ist ein ganz normales Integral mit der Integrationsvariablen t im Intervall [-2|1], das du wie üblich ausrechnest.

----------------------------
Zum Abschluss noch eine wichtige Regel, die ihr sicher auch in der Vorlesung gehört habt.

Ein Kurvenintegral in der xy-Ebene ist dann vom Weg unabhängig, wenn für die Kraft F=[F1|F2] gilt: dF1/dx=dF2/dx. Damit kannst du die Wegunabhängigkeit ganz einfach prüfen.

Anschaulich kann man sich diese Wegunabhängigkeit wie folgt vorstellen:
Wenn man einen Massepunkt reibungslost in einem „Gebirge“ von einem Punkt A zu einem Punkt B verschiebt, dann hängt die dabei verrichtete mechanische Arbeit nur vom Höhenunterschied der Punkte A und B ab, aber nicht von der Form der Kurve.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur meines Tipfehlers:

Die Regel zum Prüfen der Wegunabhängigkeit in der Ebene lautet: dF1/dx2=dF2/dx1
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Ich habe in meiner obigen Rechnung noch einen Rechenfehler etdeckt, den im hiermit korigiere. Ich hoffe, jetzt ist es ok.
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Jedes Kurvenintegral kannst du dir als die mechanische Arbeit vorstellen, die du entgegen einem Kraftfeld entlang einer beliebig gekrümmten Kurve verrichten musst – z.B. beim Fahrradfahren gegen ein ortsabhängiges Windfeld.

Das zugehörige Kurven Integral lautet

W=Int F dx_____(1)

Dabei ist F=[F1|F2] das Kraftfeld und dx=[dx1|dx2] das Differenzial einer Kurve x=[x1|x2]. Letztere ist durch einen Parameter t parametrisiert (z.B. die Zeit t, mit der du die Kurve fährst), also x1=x1(t) und x2=x2(t).

Man sollte den Kraftvektor und die Kurve fein säuberlich in Vektorform aufschreiben.

Ich zeige dir mal anhand der Kurve k2, wie man derartige Kurvenintegrale rein praktisch berechnet. Dazu muss man das Differnzial dx=[dx1|dx] und die Kraft F=[F1|F2] derart umformen, dass beide nur noch vom Parameter t abhängen:

Kurvendiffernzial:
----------------------
Die Kurve K2 ist eine Gerade und lautet

x=[x1|x2]=[(7+t)/3|t+3]_____(2)

Ableiten der Kurve nach der Zeit ergibt den Tangentenvektor

dx/dt=(1/3|1)

Umstellen nach dem Differenzial dx ergibt

dx=(1/3|1)*dt_____(3)

Dieses hängt das Differenzial dx=[dx1|dx2] wie gewünscht nur noch von t ab. Im konkreten beispiel ist es sogar konstant und hängt von gar nichts mehr ab!

Kraft
-------
Die Kraft lautet in Vektorform (für beide Kurven K1 und K2)

F=(F1|F2)=(x/y|-y/x)_____(4)

Einsetzen von x1 und x2 aus (2) ergibt die Kraft auf der konkreten Kurve

F=[(7+t)/3(t+3)|-3(t+3)/(7+t)]_____(5)

Jetzt hängt auch die Kraft wie gewünscht nur noch von t ab.

Einsetzen des Differenzial (3) und der Kraft (5) in das Integral (1) ergibt ein Integral, das folglich auch nur noch von t abhängt.

E=Int [(7+t)/3(t+3)|-3(t+3)/(7+t)]*[1/3|1] dt_____(6)

Die beiden eckigen Klammer [...|...] sind Vektoren. Also ist der Integrand [...|...]*[...|...] in (6) ein Skalarprodukt, das man wie üblich ausmultiplizieren muss. Das ergibt

E=Int (7+t)/3(t+3)*1/3-3(t+3)/(7+t) dt

Dies ist ein ganz normales Integral mit der Integrationsvariablen t im Intervall [-2|1], das du wie üblich ausrechnest.

----------------------------
Zum Abschluss noch eine wichtige Regel, die ihr sicher auch in der Vorlesung gehört habt.

Ein Kurvenintegral in der xy-Ebene ist dann vom Weg unabhängig, wenn die Kraft F=[F1|F2] gilt: dF1/dx2=dF2/dx1.

Anschaulich kann man sich diese Wegunabhängigkeit wie folgt vorstellen:
Wenn man einen Massepunkt reibungslost in einem „Gebirge“ von einem Punkt A zu einem Punkt B verschiebt, dann hängt die dabei verrichtete mechanische Arbeit nur vom Höhenunterschied der Punkte A und B ab, aber nicht von der Form der Kurve.
dersmu81 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Rechenwege, das hilft mir sehr weiter.
ich werd das jetzt mal gedanklich durchspielen.
ich muss sagen das ich krankheitsbedingt nicht bei den Vorlesungen war, deswegen fällt es mir schwer aus den Mitschriften so richtig schlau zu werden. aber die Bedingung für die Wegunabhängigkeit hab ich auch gesehen.
dersmu81 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bin jetzt erstmal so weit gekommen, ich hoffe es stimmt soweit schonmal





















und dann halt noch bisschen zusammenfassen...
dersmu81 Auf diesen Beitrag antworten »





und dann habi ch gleich mal noch eine aufgabe, sie sieht so einfach aus, ich hoffe ich hab nichts übersehen.





dann hab ich
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@ehos: Soweit ich mich erinnern kann, wurde es dir schon x-mal gesagt: Benutze den Formeleditor! So kann und möchte das kein Mensch lesen.
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