Surjektive lineare Isometrie |
| 22.06.2009, 14:53 | gladice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Surjektive lineare Isometrie Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Für zwei Elemente x und y eines Hilbertraumes H von gleicher Norm gibt es stets eine surjektive lineare Isometrie U mit Ux=y. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Folgende Ansätze sind vorhanden: - man sollte zunächste den Raum betrachten, der von x und y aufgespannt wird - U ist Isometrie, wenn U*U=1 - wenn U surjektiv, dann UU*=1 ( unitäres Element) - ein Element ist unitär, wenn es Orthonormalbasen auf Orthonormalbasen abbildet Ich weiß leider nicht wirklich, wie ich das verarbeiten soll..... 
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon mal für die Bemühungen... LG Gladice |
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| 22.06.2009, 18:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Untersuche zwei Fälle: 1. x und y sind linear abhängig. 2. x und y sind linear unabhängig. 1. ist trivial. Zu 2. behandle zuerst den Fall, dass der Hilbertraum 2-dimensional ist. Dann schauen wir weiter. |
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| 22.06.2009, 18:43 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, dich kenn ich doch 
Also...die Aufgabe ist tatsächlich leichter, als es sich erst anhört. Unser Tutor hat da zu viele Begriffe reingebracht, das braucht man alles gar nicht. o.B.d.A. seien x,y linear unabhängig. (Denn sonst kann man U leicht angeben) Sei zunächst der von x und y aufgespannte Unterraum. Da dieser abgeschlossen ist, gilt Erste Frage: Wenn du eine surjektive lineare Isometrie findest, die die geforderten Eigenschaften hat, wie könnte man sich daraus ein konstruieren? Zweite Frage: sieht im wesentlichen aus wie der . Wie konstruiert man sich denn auf eine Abbildung wie gefordert? |
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| 23.06.2009, 09:42 | gladice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für eure Tipps! Ich muss mich da gleich erstmal in Ruhe dransetzen und hoffe, dass ich es damit hinbekomme! @Sly: Anscheinend kennen wir uns wirklich, das ist mir auch schon aufgefallen, aber ich habe nur eine Vermutung wer du genau sein könntest
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| 23.06.2009, 12:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine PN könnte da weiterhelfen.
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| 23.06.2009, 14:47 | gladice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sooo ich setzt jetzt grad an dieser Aufgabe und beschäftige mich gerade mit der Frage, wie man sich auf V eine Abbildung, wie gefordert, konstruiert.... Ich frage mich ob man das irgendwie mit der kanonischen Abbildung/Einbettung eines normierten Raumes in seinen Bidualraum machen kann... Diese ist schon mal eine lineare Isometrie, allerdings im Allgemeinen nicht surjektiv.... Ich frage mich ob ich damit überhaupt auf dem richtigen weg bin, denn so richtig weiter komme ich im Augenblick nohc nicht. Ich weiß noch Folgendes: Sind X und Y unitäre Räume sowie f eine surjektive lineare Abbildung, dann gilt, dass f unitär ist sobald f eine Isometrie der zu X bzw. Y gehörigen metrischen Räume. Lieben Gruß |
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| 23.06.2009, 14:56 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Tipps ignorierst, die dir gegeben werden, bist du selber schuld. |
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| 23.06.2009, 15:00 | gladice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na gut, das war wohl ein Holzweg... Tut mir leid, ich bin damit einfach noch nicht auf den grünen Zweig gekommen, das heißt ja nicht, dass ich die Tipps ignoriere! Ich arbeite dran und komme halt nicht so recht weiter... |
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| 23.06.2009, 15:47 | Sly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du brauchst überhaupt nicht solche abgefahrenen Sachen dafür. Aaaalso...wie gesagt, ist ein 2-dimensionaler Hilbertraum, sieht daher so aus wie der . Wie man sich eine lineare Isometrie, wie gesucht, auf konstruiert, geht mit Methoden der linearen Algebra. (Surjektivität folgt hier schon automatisch) Wann ist ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum isometrisch? Stichwort Orthonormalbasis Und wie kannst du dir aus Orthonormalbasen konstruieren? |
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| 23.06.2009, 15:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du dir hier Hlfe erwartest, dann arbeite auch mit den Helfern, anstatt nicht auf ihre Tipps einzugehen. Zudem solltest du nicht mit Symbolen rumwerfen, die du noch gar nciht definiert hast. Der gegebene Hilbertraum heißt H - und nicht V. Was ist der Körper? IR oder C? Was ist denn, wenn x und y linear abhängig sind? Wie könnte man dann U definieren? |
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| 24.06.2009, 09:42 | gladice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, also: Es sei A = (aij) die einem Endomorphismus f bezüglich einer Orthonormalbasis e1; ... ; en zugeordnete Matrix. Genau dann ist f eine Isometrie, wenn gilt _ A^tA= id (besser krieg ich diese Formel hier leider nicht hin) |
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| 24.06.2009, 13:41 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir wissen, was eine Isometrie ist. Was soll das? Du solltest zudem den Formeleditor verwenden. |
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