Uneigentliche Integrale: Stammfkt. bestimmen

22.06.2009, 17:35

xpfreak

Uneigentliche Integrale: Stammfkt. bestimmen

Hallo zusammen,
habe zwei Aufgaben, bei denen ich nicht weiter komme.

(1) $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty } \frac{x}{\sqrt{1+x^3}} \, dx \end{eqnarray*}$
Dort bekomme ich nicht einmal die Stammfkt. heraus, Mathematica liefert mir dort eine extrem komplexe:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3^{1/4} \sqrt{1+x^3}}2 \sqrt{-(-1)^{1/6} \left((-1)^{2/3}+x\right)} \sqrt{1+(-1)^{1/3} x+(-1)^{2/3} x^2} \left(\sqrt{3} \text{EllipticE}\left[\text{ArcSin}\left[\frac{\sqrt{-(-1)^{5/6} (1+x)}}{3^{1/4}}\right],(-1)^{1/3}\right]+(-1)^{5/6} \text{EllipticF}\left[\text{ArcSin}\left[\frac{\sqrt{-(-1)^{5/6} (1+x)}}{3^{1/4}}\right],(-1)^{1/3}\right]\right) \end{eqnarray*}$

Ich glaube kaum, dass unsere Übungsleiter diese meinten, um nun nachzuweisen, dass das uneigentliche Integral nicht existiert muss ich ja den Grenzwert der Stammfkt. bilden, hat da jemand eine Idee!?

(2) $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1 } \frac{1}{\sqrt{\text{Abs}[x]}} \, dx \end{eqnarray*}$
Dort habe ich nun den Grenzwert der Stammfkt. $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{\text{Abs}[x]} \end{eqnarray*}$ in den Grenzen von -1 bis d (=0) und d bis 1 berechnet jeweils mit den Werten -2 bzw. 2. Dort würde ich als Ergebnis ja aber -2 + 2 = 0 erhalten, wobei als Ergebnis 4 rauskommen sollte. Wo liegt dort mein Fehler?

Danke euch für die Hilfe smile

22.06.2009, 18:27

Leopold

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Ich könnte wetten, daß die Aufgabe anders lautet, als von dir angegeben. Da mußt du halt schon genauer lesen.
Sicher verlangt niemand von dir, eine Stammfunktion zu bestimmen ...

Für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{1 + x^3}} \geq \frac{1}{\sqrt{2x}} \end{eqnarray*}$

Minorante!

22.06.2009, 18:34

xpfreak

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Die Aufgabenstellung lautet:
Untersuchen Sie, ob die folgenden unbestimmten Integrale existieren und bestimmen Sie im Falle der Existenz ihren Wert.

Wie kann ich dann vorgehen, um nachzuweisen, dass das unbestimmte Integral nicht existiert, wir haben im Skript nur die Methode über den Grenzwert kennengelernt.

22.06.2009, 18:46

Leopold

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Zitat:

Original von xpfreak
Wie kann ich dann vorgehen, um nachzuweisen, dass das unbestimmte Integral nicht existiert

Indem du eine Minorante angibst.
Tip: Laß dir von einem Plotter die Funktionen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^3}} \, , \ \ \ g(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \ \ \mbox{für} \ x \geq 1 \end{eqnarray*}$

zeichnen. Überlege dir, was die Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} f(x)~\dd x \ \ \ \text{und} \ \ \ \int_1^{\infty} g(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

anschaulich bedeuten. Das Integral über $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kannst du aber leicht untersuchen: mit einer Stammfunktion.

22.06.2009, 18:50

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@xpfreak

Zu (1)

uneigentliches Integral

Seid ihr Kommilitonen? Augenzwinkern

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