Reguläre Polytope in höheren Dimensionen |
| 22.06.2009, 21:00 | AnkeÜbtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Reguläre Polytope in höheren Dimensionen Ich arbeite gerade an einem Vortrag zur Klassifikation regulärer Polytope in höheren Dimensionen (also 4. Dim. und höher), und komme an ein paar Stellen nicht weiter: 1) Wie berechne ich die kartesischen koordinaten von 4dimensionalen Polytopen? Ich habe einige Auflistungen der Koordinaten gefunden, möchte sie aber lieber selbst berechnen können. 2) Die Beweisidee der Klassifikation ist in jeder Dimension gleich: Im 2dimensionalen betrachtet man die Summe der Innenwinkel von regulären Polygonen die man in einer Ecke aneinander legt. Diese muss kleiner sein als 360 gard. Daraus ergeben sich 5 Möglichkeiten für die Zusammensetzung von 3dimensionalen Polyedern. Im 3dimensionalen betrachtet man dann die Summe der Flächenwinkel von regulären Polyedern, die man in einer Kante zusammenlegt und die wiederum kleiner sein muss als 360 grad. Hier endet leider mein Wissen. Wie berechne ich die Winkel in der 4. Dimension? In meiner Literatur sind diese ohne Rechnung einfach angegeben. Außerdem auch eine Formel für die n-dimensionale Winkelbestimmung für den n-dimensionalen Simplex, Würfel und das Oktaederpolytop. Mit weiterführender Literatur oder Rechenansätzen wäre mir sehr geholfen! Danke schonmal! |
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| 22.06.2009, 21:09 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Reguläre Polytope in höheren Dimensionen Kennst du das Buch "Regular Polytopes" von Coxeter? Da dürfte alles, was du wissen möchtest, drinstehen. |
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| 23.06.2009, 12:06 | AnkeÜbtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Reguläre Polytope in höheren Dimensionen Ja, kenne ich, vielen Dank. Coxeter geht aber etwas anders im Beweis vor, soweitich weiß. Ich schau trotzdem nochmal rein, liebe Grüße |
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| 23.06.2009, 12:52 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Reguläre Polytope in höheren Dimensionen Zum Punkt 1), zur Koordinatenberechnung, ist es vielleicht hilfreich, wenn man sich das von Coxeter geschilderte allgemeine Konstruktionsverfahren für die Simplexe, Maß- und Kreuzpolytope betrachtet (Kapitel 7: Ordinary Polytopes in Higher Space). Das sollte zumindest die verallgemeinerte Koordinatenberechnung der in allen Dimensionen auftretenden Pyramiden, Würfel und Bipyramiden ermöglichen. Die außerdem auftretenden Spezialfälle in Dimension 3 und 4 muß man halt getrennt behandeln, denke ich. |
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