Übung zu Vektorräumen

22.06.2009, 19:56

LowDepth

Übung zu Vektorräumen

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei meinen Problemen etwas helfen.
Gegeben ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} P_4([-1,1]) \end{eqnarray*}$ sei die Menge auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definierten, reellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 4 \end{eqnarray*}$
weiterhin seien $\begin{eqnarray*} p(x),q(x) \in P_4([-1,1]) \end{eqnarray*}$
Addition und Muliplikation mit reelem Skalar $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ seinen: $\begin{eqnarray*} (p+q) \cdot (x):=p(x)+q(x); (\alpha \cdot p)(x)=\alpha p(x) \end{eqnarray*}$
Das Skalarprodukt sei definiert als $\begin{eqnarray*} <q|p>=\int_{-1}^{1}~q(x)\cdot p(x)~dx \end{eqnarray*}$

1. Frage: Ist $\begin{eqnarray*} P_4([-1,1]) \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum?
Antwort: Ja (ist ja sehr allgemein...)

2. Frage: Bildet $\begin{eqnarray*} B=\left\{ {1,x,x^2,x^3,x^4}\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis in $\begin{eqnarray*} P_4 \end{eqnarray*}$ ?
Antwort: Ja

3. Frage: Ist B eine ONB?
Antwort: Nein, weil weder normiert noch orthogonal

4. Frage: Wie ließe sich aus B eine ONB erzeugen?

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Für Frage 4 weiß ich leider keine Antwort. Wegen dem definierten Skalarprodukt sind ja jeweils nur zwei Elemente der Basis orthogonal zueinander... nämlich (1 und x), (x und x²) ....
Wie macht man das also? Mit dem Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren?

Fragen 1-3 hoffe ich richtig beantwortet zu haben.

Gruß & Danke für die Zeit.

22.06.2009, 20:07

WebFritzi

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RE: Übung zu Vektorräumen

Zitat:

Original von LowDepth
Wie macht man das also? Mit dem Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren?

Jepp.

22.06.2009, 21:08

LowDepth

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Okay, danke! Hab das Verfahren auch mal durchgeführt und die ONB (numerisch ungenau) gebildet.

Nächste Frage lautet, ob $\begin{eqnarray*} P_4 \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum ist. Die Antwort müsste auch JA sein, weil ja jede Cauchy-Folge m. M. nach konvergiert und der Grenzwert auch wieder in den Reellen Zahlen liegt.

Und noch etwas. Ich habe einen Operator T gegeben:

$\begin{eqnarray*} (Tp)(x)=2 \cdot x \cdot p'' \cdot (x) +(x-4)\cdot p' \cdot (x) -2 \cdot p \cdot (x) \end{eqnarray*}$

Ich soll T nun als Matrix schreiben. Wie mache ich das? T müsste ja $\begin{eqnarray*} 2x \cdot \frac{dp^2}{d^2 p_i}+(x-4) \frac {d}{dp_i} -2 \end{eqnarray*}$ sein, oder? Die gesuchte Darstellung für T wird eine 5x5 Matrix sein.

Muss ich schauen, dass etwas finde, was $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 & d_5 \\ e_1 & e_2 & e_3 & e_4 & e_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \\ x^4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} a_1=-2;b_1=-4 \end{eqnarray*}$ usw.?

23.06.2009, 17:03

LowDepth

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Oh man, eine Runde schämen für mich... es lag eigentlich auf der Hand.

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