Eulersche Phi-Funktion

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pi_mal_Daumen Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Phi-Funktion
Hi!

Ich sitze gerade noch an meinen letzten beiden Aufgaben, aber komme bei denen nicht mehr ganz weiter. Sie lauten wie folgt:

  1. Zeige, dass genau dann gilt, wenn wenn
  2. Berechne für


Ich habe bei den beiden irgendwie keine richtige Idee, wo genau ich ansetzen könnte. Kann mir vll. jemand einen Tipp geben, womit ich zum Ziel komme?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur 1.

Wenigstens die Rückrichtung sollte dir gelingen.

Zu welchen Zahlen ist denn teilerfremd?
pi_mal_Daumen Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaalso: wird natürlich nicht von ungeraden Zahlen geteilt werden.
D.h. von allen ungeraden Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. Und das sollten n/2 sein.
Meintest du das so?

Also: wird von 1 und 3 nicht geteilt, wird nicht von 1, 3, 5, 7 geteilt, sind 4... sollte also schonmal passen smile

Edit: Sorry... das stimmt ja garnicht mal! 1 alleine teilt ja schon alles...

Edit2: Ich überleg nochmal und komme nochmal wieder... denken, drücken, sprechen Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so meinte ich das.

Allerdings reicht es nicht, dass nicht von einer ungeraden Zahl geteilt wird, sondern, dass es dazu teilerfremd ist. Das ist ein Unterschied.

Jetzt noch die andere Richtung.
Dass für jede andere gerade Zahl gilt , ist trivial.

Fehlen noch die ungeraden Zahlen. Die bestehen nur aus ungeraden Primzahlen.

Kennst du

?

Betrachten wir mal

Offensichtlich sind Zähler und Nenner ganzzahlig, letzterer allerdings nicht durch 2 teilbar, also kann der Bruch nicht 1/2 ergeben.

Zur 2.

Du kannst die Summe etwas umschreiben. Es kommt dann eine geometrische Reihe raus. Dazu musst du dir überlegen, welche Zahlen denn teilen.


edit: Der Beweis für ungerade Zahlen ist übrigens sinnlos, da dann eh kein Sinn macht Big Laugh
pi_mal_Daumen Auf diesen Beitrag antworten »

Aaalso:

Wenn gilt, sehe ich ein, dass zu den geraden Zahlen kleiner als maximal die ungeraden Zahlen kleiner als diese teilerfremd sind, welches aber schon weniger als n/2 sind.

Wieso alle ungeraden Zahlen kleiner als nicht in Frage kommen verstehe ich gerade nicht auf anhiebt, bzw wieso daraus direkt folgen muss, dass gelten muss, und nicht vll noch irgend eine größere Zahl.

Vll. muss ich auch einfach nur ein wenig intensiver drüber nachdenken!
pi_mal_Daumen Auf diesen Beitrag antworten »

Achso... zu der 2. habe ich nun mal testweise die ersten Werte eingesetzt, und es kommt scheinbar immer 0 bei heraus.

Geteilt wird immer von .

Ne Geometrische Reihe hat ja die Form .
Ganz so einleuchten tut mir der Zusammenhang leider auch nicht.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pi_mal_Daumen
Aaalso:

Wenn gilt, sehe ich ein, dass zu den geraden Zahlen kleiner als maximal die ungeraden Zahlen kleiner als diese teilerfremd sind, welches aber schon weniger als n/2 sind.

Wieso alle ungeraden Zahlen kleiner als nicht in Frage kommen verstehe ich gerade nicht auf anhiebt, bzw wieso daraus direkt folgen muss, dass gelten muss, und nicht vll noch irgend eine größere Zahl.



Moment: Denkfehler!

Es geht doch nur darum, dass wenn gilt, dass dann n nicht ungerade sein kann (klar weil n/2 dann nicht ganzzahlig ist) und auch nicht gerade sein kann, außer es ist eben ne 2er-Potenz.

Es geht nicht darum, dass es für ein bestimmtes n noch weitere Zahlen x gibt, sodass


Zu 2: Ja es kommt 0 raus.
Versuche mal den Summenindex anders zu formulieren. Also nicht über alle d, die n teilen, sondern konkret irgendwie von i=0 bis k gehen oder so.
pi_mal_Daumen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine ausführlichen Bemühungen! smile

Bei der 2. könnte man doch auch ganz anders Argumentieren, oder?

Die Summe ergibt im Endeffekt ja sowas wie , was man dann glaube ich mit irgendeinem Satz direkt folgern kann, dass das ganze 0 ergeben muss....
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pi_mal_Daumen
Bei der 2. könnte man doch auch ganz anders Argumentieren, oder?

Die Summe ergibt im Endeffekt ja sowas wie , was man dann glaube ich mit irgendeinem Satz direkt folgern kann, dass das ganze 0 ergeben muss....


Genau so wollte ich doch argumentieren Augenzwinkern

Denn nach 1. ist deine Summe gleich:



Die Summe in der Klammer kann man leicht als geometrische Reihe (das Stichwort gabs doch oben schonmal Augenzwinkern ) enttarnen und so zeigen, dass sie 0 ergibt.

edit: ich bin mal schlafen, vielleicht kann ich ja morgen lesen, dass du nun alles verstanden und die aufgabe gelöst hast Augenzwinkern
pi_mal_Daumen Auf diesen Beitrag antworten »

Um mich nochmal dankeshalber zu melden, japp! Hat geklappt Big Laugh



Vll. hilft dem einen oder anderen ja nochmal!

Also... dankeschön nochmal, tmo! smile
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