Reihe, Summe bestimmen

22.06.2009, 23:50

ge88

Reihe, Summe bestimmen

Hallo,

Wenn ich die Summe der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \frac{4}{3^{n-2}} \end{eqnarray*}$ bestimmen soll, wird folgendes funktionieren?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \frac{4}{3^{n-2}} = \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \frac{108}{3^{n}} = 108 \cdot \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \left( \frac{1}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$
Ich sehe die geometrische Reihe smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \left( \frac{1}{3}\right)^n = \sum_{n=2k}^\infty~ \left( \frac{1}{3} \right)^n - \sum_{n=2k-1}^\infty~ \left( \frac{1}{3} \right)^n \ \forall \ k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ist die Idee ueberhaupt richtig?

Danke!

22.06.2009, 23:58

tmo

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Zunächst ist $\begin{eqnarray*} 4\cdot 3^2= 36 \end{eqnarray*}$ und nicht 108 Augenzwinkern

Desweiteren ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n \left( \frac{1}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$ schon eine geometrische Reihe, da musst du nichts mehr auseinanderziehen oder was auch immer.

Höchstens noch ein Potenzgesetz anwenden. Und dann kannst du direkt die Formel für den Grenzwert der geometrischen Reihe anwenden.

23.06.2009, 00:09

ge88

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Zitat:

Original von tmo
Zunächst ist $\begin{eqnarray*} 4\cdot 3^2= 36 \end{eqnarray*}$ und nicht 108 Augenzwinkern

lol, ich hab da etwas mit $\begin{eqnarray*} 4 \cdot 3^{-2} \end{eqnarray*}$ rumgemacht und naja..

Zitat:

Hmm, na gut. Dann versuch ich halt was anderes damit zu machen...
danke smile

23.06.2009, 00:39

ge88

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Wenn ich nicht nochmal so doof bin, dann gilt vielleicht
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ (-1)^n \left( \frac{1}{3} \right)^n = \sum_{n=1}^\infty~ \left(- \frac{1}{3} \right)^n \end{eqnarray*}$
verwirrt

Das Ergebnis sieht aber ziemlich wild aus...

23.06.2009, 07:19

Leopold

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Oh ja, grauenhaft! Min use invi Er tel!

23.06.2009, 09:23

ge88

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Es stimmt nicht, dass die Summe 27 ist, oder wie ist das zu verstehen?

23.06.2009, 10:21

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Wie kommst du denn jetzt auf 27, erleuchte uns mal!

Nein, die Summe ist nicht 27.

23.06.2009, 10:37

ge88

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Ich rechne $\begin{eqnarray*} 36 \cdot \frac{1}{1 - \left( - \frac{1}{3} \right)} \end{eqnarray*}$ aus und das ergibt bei mir irgendwie 27
Am Anfang da oben habe ich $\begin{eqnarray*} 3^3 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ gerechnet, also vielleicht rechne ich schon wieder falsch unglücklich

23.06.2009, 10:53

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Zitat:

Original von ge88
Ich rechne $\begin{eqnarray*} 36 \cdot \frac{1}{1 - \left( - \frac{1}{3} \right)} \end{eqnarray*}$ aus und das ergibt bei mir irgendwie 27

Das ist richtig, sofern

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} ~ (-1)^n \frac{4}{3^{n-2}} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen wäre. Tatsächlich steht da aber

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} ~ (-1)^n \frac{4}{3^{n-2}} \end{eqnarray*}$ .

Ich kann es nur immer wieder betonen: Genau lesen - jede Formel, jeden Index!

23.06.2009, 11:24

ge88

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Das habe ich wieder vergessen, ja..
Ist die Summe jetzt -9? Ich trau meinen Rechnungen nicht mehr.

23.06.2009, 11:31

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-9 ist richtig.

23.06.2009, 11:42

ge88

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ah, zum Glueck!
Danke

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