Bedingte Wahrscheinlichkeit - wirklich so einfach?

23.06.2009, 00:15

derbasi

Bedingte Wahrscheinlichkeit - wirklich so einfach?

Hallo.

ich habe gerade ein beispiel zur bedingten wahrscheinlichkeit geloest und frage mich ob ich das thema tatsaechlich richtig verstanden habe.
denn irgendwie erscheint mir der loesungsweg doch sehr simpel.

hab das beispiel und meinen loesungsweg angehaengt.

vielen dank fuers ueberpruefen und lg

23.06.2009, 07:01

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Eine ziemlich frech unvollständig formulierte Aufgabe. Es fehlt nämlich die Erwähnung des hier vermutlich angenommenen, aber durchaus nicht selbstverständlichen Grundmodells einer Gleichverteilung auf einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die zumindest alle Zahlen aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ umfasst!

Wie auch immer, deine Rechnung mit

$\begin{eqnarray*} P(A|B) \stackrel{?}{=} \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

ist falsch - das würde nur bei Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gelten, und davon kann hier keine Rede sein.

Warum gehst du nicht direkt gemäß der richtigen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit vor

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ ,

der Durchschnitt lässt sich ja einfach bestimmen:

$\begin{eqnarray*} A\cap B = \left\{ x\in\mathbb{R} \bigm| x \; \mbox{ist Vielfaches von}\; \operatorname{kgV}(4,5)=20 \wedge x<42 \right\} = \{ 20 , 40 \} \end{eqnarray*}$

23.06.2009, 20:57

derbasi

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hallo.

danke fuer deine antwort.
ich hab die angabe 1:1 in das mathcad file kopiert und dann gerechnet wie ich mich an meine schulzeiten zurueckerinnern kann.
aber wie bereits erwaehnt erschien mir dies nicht ganz richtig - vom gedankengang.

also bedeutet

P(A n B) dass nur die werte interessant sind die auf beide Mengen (A und B) zutreffen und wir somit nur noch 2 moeglichkeiten erhalten.

kann ich fuer diesen fall

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{p(A n B)}{p(B)} = \frac{ \frac{2}{42}}{\frac{11}{56}} \end{eqnarray*}$

berechnen?

23.06.2009, 21:56

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Zitat:

Original von derbasi
kann ich fuer diesen fall

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{p(A n B)}{p(B)} = \frac{ \frac{2}{42}}{\frac{11}{56}} \end{eqnarray*}$

berechnen?

Nein!!! Du kannst doch nicht einmal die Laplacesche Wahrscheinlichkeit in Bezug zu 42 Gesamtelementen setzen, und in derselben Formel dann plötzlich zu 56 Gesamtelementen - das ist Inkonsequenz pur und ergibt nicht den geringsten Sinn. unglücklich

---------------------------

Wie ich schon sagte, es wird hier offenbar vom Grundmodell einer Gleichverteilung auf einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ausgegangen, wobei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ alle hier besprochenen relevanten Mengen umfasse. Das könnte z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,2,\ldots,100\} \end{eqnarray*}$ sein, egal - Hauptsache "groß genug".

Dann liegt hier eine Laplacesche Wahrscheinlichkeit vor: Für $\begin{eqnarray*} A\subset \Omega \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ hier unbekannt ist, kann man die absoluten Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ usw. hier gar nicht berechnen. unglücklich

Die bedingten dagegen schon: Für $\begin{eqnarray*} A \subset\Omega,B\subset \Omega \end{eqnarray*}$ folgt aus (*)

$\begin{eqnarray*} P(A \bigm| B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{|A\cap B|}{|\Omega|}}{\frac{|B|}{|\Omega|}} = \frac{|A\cap B|}{|B|} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. das $\begin{eqnarray*} |\Omega| \end{eqnarray*}$ spielt hier keine Rolle mehr, sofern es nur groß genug ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von derbasi
und dann gerechnet wie ich mich an meine schulzeiten zurueckerinnern kann.

Dann hast du dich verdammt schlecht erinnert, denn $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ gilt wie gesagt nur für unabhängige $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . Und Unabhängigkeit sollte man nicht leichtfertig annehmen, sondern solide begründen - was hier nicht geht, weil sie nicht vorliegt.

23.06.2009, 23:00

derbasi

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tut mir leid, es scheint als wuerde ich heir absolut auf der leitung stehen.

dass sie nicht unabhaengig voneinander sind, koennte ich ja eigentlich daraus erkennen dass in der angabe beides mal x gegeben ist, oder?

und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ geht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ da x ein element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?!?!

und meine loesung erhalte ich dann durch

$\begin{eqnarray*} p(A|B) = \frac{|A n B|}{|B|} = \frac{2}{11} \end{eqnarray*}$

ich hoffe jetzt habe ich das thema richtig verstanden.

danke fuer deine hilfe.

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