Matrixgleichung lösen und bestimmen?

23.06.2009, 09:18

greg3d

Matrixgleichung lösen und bestimmen?

Hi hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
Lösen Sie die Matrixgleichung:
Und welche Form muss die Matrix X besitzen damit Sie lösbar ist:
$\begin{eqnarray*} AX+2B=C^{T}+3X \end{eqnarray*}$
gegeben sind:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} AX-3X=C^{T}-2B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=(C^{T}-2B)*(A-3E)^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Klammern gelöst:
$\begin{eqnarray*} X=(\begin{pmatrix} 0& 1 & 2 \\ 2 & -3 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix})*\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

So jetzt stoß ich auf ein Problem weil ich die letzten Matrizen nich multiplizieren kann.
Wo ist mein Denkfehler oder ist meine Rechnung komplett falsch?

Mit freundlichen Grüßen

23.06.2009, 09:26

klarsoweit

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RE: Matrixgleichung lösen und bestimmen?

Zitat:

Original von greg3d
$\begin{eqnarray*} X=(C^{T}-2B)*(A-3E)^{-1} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist falsch. Das kommt davon, wenn man 2 Schritte (X ausklammern und anschließende Multiplikation) gleichzeitig macht.

23.06.2009, 15:57

greg3d

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RE: Matrixgleichung lösen und bestimmen?
ah ok ich glaub das war der Fehler.

$\begin{eqnarray*} X=(A-3E)^{-1}*(C^{T}-2B) \end{eqnarray*}$

Ok dann rechne ich das noch mal und komme zu folgendem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 2 & -5 & 10 \end{pmatrix}=X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{4}{3} & -\frac{4}{3} & \frac{10}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{7}{6}& \frac{5}{3} \end{pmatrix}=X \end{eqnarray*}$

Könntest du mir vielleicht sagen ob das Ergebnis stimmt, weil habe keine Kontrolle zur Verfügung.

Und zur Aufgabe 2 "Und welche Form muss die Matrix X besitzen damit Sie lösbar ist:".
Ist das richtig das die X matrix die Struktur haben muss 2X3 , also 2 zeilen und 3 Spalten .
Wäre das die passende Antwort auf die Frage?

Danke an Klarsoweit und ich glaub es wird mir langsam Klar (soweit) Augenzwinkern

23.06.2009, 16:21

WebFritzi

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RE: Matrixgleichung lösen und bestimmen?

Zitat:

Original von greg3d
Könntest du mir vielleicht sagen ob das Ergebnis stimmt, weil habe keine Kontrolle zur Verfügung.

Doch, die hast du. Schau einfach, ob die Gleichung für dein X erfüllt ist.

Zitat:

Original von greg3d
Und zur Aufgabe 2 "Und welche Form muss die Matrix X besitzen damit Sie lösbar ist:".
Ist das richtig das die X matrix die Struktur haben muss 2X3 , also 2 zeilen und 3 Spalten .
Wäre das die passende Antwort auf die Frage?

Ja.

23.06.2009, 21:59

greg3d

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Wie ich kann das kontrollieren?
meinst du in dem ich das als Gleichungssystem schreibe?

aber dann würde ich doch 2 Gleichungen erhalten und 6 Unbekannte, wieso soll ich das kontrollieren?
würde mich sehr um Hilfe freuen, weil das würde bedeuten das ich in der Klausur noch eine kontrolle durchführen könnte, ob es richtig ist.

danke

23.06.2009, 22:08

Nubler

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spontane frage: der kommutator wirklich 0?

23.06.2009, 22:43

greg3d

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sorry aber wo wird den hier der Kommutator 0?
bitte um erklärung wenn was falsch sein sollte, weil bin nicht so gut Rätzelraten.

danke aber trotzdem

23.06.2009, 23:03

Nubler

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RE: Matrixgleichung lösen und bestimmen?

Zitat:

Original von greg3d
[...]
Ich bin so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} AX-3X=C^{T}-2B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=(C^{T}-2B)*(A-3E)^{-1} \end{eqnarray*}$
[...]

das gilt nur, wenn A mit X kommutiert
denn dann gilt AX=XA

denn normalerweise müsstest du schreiben:
AX-3EX=(A-3)X
somit ist $\begin{eqnarray*} (A-3E)^{-1} \end{eqnarray*}$ erst mal nur linksinvers

24.06.2009, 01:08

WebFritzi

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RE: Matrixgleichung lösen und bestimmen?
@Nubler: Lies erstmal den ganzen Thread anstatt greg3d zu verunsichern und mit Fachworten zu prahlen. Er hat sich später verbessert.

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von greg3d
Könntest du mir vielleicht sagen ob das Ergebnis stimmt, weil habe keine Kontrolle zur Verfügung.

Doch, die hast du. Schau einfach, ob die Gleichung für dein X erfüllt ist.

Mann, du setzt einfach deine Lösung in der gegebenen Gleichung für X ein und schaust, ob links und rechts das gleiche rauskommt. Wenn das so ist, ist deine Lösung tatsächlich eine Lösung.

24.06.2009, 11:00

greg3d

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Geil, haut alles hin. Ich bin begeistert.
Ein riesen Danke schön an WebFritzi.
mfg

24.06.2009, 14:37

WebFritzi

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Das solltest du dir merken. Man bekommt doch schon in der Schule beigebracht, dass man seine Lösung für eine Gleichung dadurch überprüfen kann, dass man sie einfach nochmal einsetzt und schaut, ob rechts und links das gleiche rauskommt. Lehrer

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