Produkt positive definiter Matrizen

23.06.2009, 12:56

eierkopf1

Produkt positive definiter Matrizen

Hallo!

Folgendes ist zu zeigen:
"Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ positiv definit sind, dann ist auch $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ positiv definit."

Meine Gedanken bis jetzt:
Da A und B positiv definit sind, sind A und B normal und damit unitär diagonalisierbar.

$\begin{eqnarray*} A=UD_AU^* \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=VD_BV^* \end{eqnarray*}$
(wobei D eine Diagonalmatrix und U,V unitäre Matrizen sind)

Wenn $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ positiv definit, dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} x^*UD_AU^*VD_BV^*x>0 \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte man wahrscheinlich geschickt umformen. Aber ich komme nicht weiter. Hat jemand eine Idee dazu?

23.06.2009, 13:29

marodeur

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es ist ja $\begin{eqnarray*} x^TAx>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^TBy>0 \end{eqnarray*}$

spontan würd ich mal sagen: $\begin{eqnarray*} x^TAxy^TBy>0 \end{eqnarray*}$ wenn man x und y mal als gleiche einheitsvektoren wählt, dann bekommt man in der mitte die Identität. bei unterschiedlichen, erhält man informationen über bestimme produkte der elemente von A und B.

23.06.2009, 13:40

eierkopf1

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Ich muss es doch nicht nur für einen Vektor zeigen, sondern für alle, dass
$\begin{eqnarray*} x^*ABx>0 \end{eqnarray*}$

Und wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x^*Axy^*By \end{eqnarray*}$ ?

Oder verstehe ich das falsch verwirrt

23.06.2009, 14:02

marodeur

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$\begin{eqnarray*} x^TAx = c>0 \text{ mit } c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

man kann doch 2 reelle Zahlen größer Null Multiplizieren und erhält wieder eine reelle Zahl größer Null.

und mit den einheitsvektoren kann man jeden anderen vektor darstellen.

ich seh gerade, das mit der Identität ist Blödsinn, ist natürlich auch nur ein solches produkt.

23.06.2009, 14:30

eierkopf1

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Was genau meinst du jetzt mit Blödsinn?

23.06.2009, 17:45

WebFritzi

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Nur weil du die Aufgabenstellung wieder mal nicht ordentlich abgeschrieben hast, habe ich jetzt meine Zeit verplempert. Die Aussage ist falsch. Wähle z.B.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & \frac{17}{16}\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Forum Kloppe

23.06.2009, 17:57

eierkopf1

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Danke fürs Gegenbeispiel.

Was meinst du mit ordentlich abschreiben? Ich habs eigentlich rüberkopiert. Es steht genau so in der Angabe.
Oder meinst du die Definition für pos.def.? verwirrt

EDIT:
Du meinst "Folgendes ist zu zeigen". Sorry. unglücklich

Ich war überzeugt, dass es richtig ist. Hammer

23.06.2009, 19:02

WebFritzi

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Wie kann man da nur sicher sein... unglücklich

Es hätte da stehen sollen: "Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage stimmt:". Ändere das auch in deinem anderen Thread. Da hast du es auch vergessen.

23.06.2009, 20:08

eierkopf1

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Beim anderen Thread:Es steht "Zeigen Sie: ..." in der Angabe.

Zum Thema nochmal:
Wir haben in der Vorlesung positiv definit nur für selbstadjungierte Matrizen definiert. Bei deinem Gegenbeispiel und auch bei allen, die ich finden konnte, ist das Produkt eine nicht-symmetrische Matrix. Über diese kann ich doch nicht sagen, dass sie positiv definit bzw. nicht positiv definit ist.
Das ist so, wie wenn man über die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt nachdenkt, an dem die Funktion gar nicht definiert ist. verwirrt

Ich finde schon, dass man die Aussage oben wiederlegt hat, aber ob mein Prof. die selbe Meinung hat, weiß ich nicht.

24.06.2009, 00:48

WebFritzi

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Das weiß ich auch nicht. Das hängt von der Definition ab.

Def 1: Eine reelle nxn-Matrix A heißt positiv definit, wenn sie symmetrisch ist und $\begin{eqnarray*} x^TAx > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt.

Def 2: Eine symmetrische (reelle) nxn-Matrix A heißt positiv definit, wenn $\begin{eqnarray*} x^TAx > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt.

Benutzt ihr Def 1, dann ist die Aussage mit meinem Gegenbeispiel widerlegt, denn AB ist hier nicht symmetrisch. Benutzt ihr allerdings Def 2, dann ist die Aussage sinnlos, denn man kann ja auch nicht sagen, dass z.B. eine Funktion einfach zusammenhängend ist.

24.06.2009, 08:08

eierkopf1

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Wir benutzen diese:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^* = A. \end{eqnarray*}$
A heißt positiv definit, wenn für alle $\begin{eqnarray*} 0 \neq x \in \mathbb K^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^*Ax> 0 \end{eqnarray*}$
gilt.

Also im reellen entspricht das deiner Def2.

Danke für die Hilfe Freude

24.06.2009, 10:18

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Der Unterschied zwischen Def 1 und Def 2 ist doch nur der, dass bei Def 2 die Möglichkeit nichtsymmetrischer positiv definiter Matrizen offen gelassen wird - wobei man dann definieren müsste, was man darunter versteht.

Soweit mir bekannt ist, wird sowas nicht unter dem Begriff "positiv definit" zugelassen. Es hätte auch weitreichende Konseqenzen, wenn man etwa jede quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^*Ax > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ als positiv definit bezeichnet würde. So wäre etwa die Äquivalenz zur Aussage, dass alle Eigenwerte reell und positiv sind, nicht mehr gegeben:

Schaut man sich WebFritzis obige Beispielmatrix

$\begin{eqnarray*} AB = \begin{pmatrix}2 & 2\\1 & \frac{17}{16}\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

an, so stellt man fest, dass $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ nur positive Eigenwerte hat, dass es aber andererseits durchaus $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^*Ax < 0 \end{eqnarray*}$ gibt, wie etwa $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Kurzum, man sollte vielleicht besser die Finger von denkbaren "Erweiterungen" von Def 1 lassen. Augenzwinkern

24.06.2009, 14:01

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Der Unterschied zwischen Def 1 und Def 2 ist doch nur der, dass bei Def 2 die Möglichkeit nichtsymmetrischer positiv definiter Matrizen offen gelassen wird - wobei man dann definieren müsste, was man darunter versteht.

Soweit mir bekannt ist, wird sowas nicht unter dem Begriff "positiv definit" zugelassen.

Unter Wikipedia schon. Allerdings bin auch ich der Meinung, dass man den Begriff "positiv definit" auf symmetrische (bzw. hermitesche) Matrizen (bzw. Operatoren) beschränken sollte.

Zitat:

Original von Arthur Dent
Es hätte auch weitreichende Konseqenzen, wenn man etwa jede quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^*Ax > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ als positiv definit bezeichnet würde. So wäre etwa die Äquivalenz zur Aussage, dass alle Eigenwerte reell und positiv sind, nicht mehr gegeben.

Das ist richtig. Das gilt dann halt für den symmetrischen Anteil - nicht aber zwangsweise für die Matrix selbst (ich nehme an, du beschränkst dich hier auf reelle Matrizen).

Zitat:

Original von Arthur Dent
Schaut man sich WebFritzis obige Beispielmatrix

$\begin{eqnarray*} AB = \begin{pmatrix}2 & 2\\1 & \frac{17}{16}\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

an, so stellt man fest, dass $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ nur positive Eigenwerte hat, dass es aber andererseits durchaus $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^*Ax < 0 \end{eqnarray*}$ gibt, wie etwa $\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig und hier auch nicht weiter verwunderlich. Dass die Matrix AB nur positive Eigenwerte hat, erklärt sich dadurch, dass sie symmetrisch und positiv definit ist bzgl. des durch B induzierten Skalarproduktes [x,y] := <Bx,y>.

Zitat:

Original von Arthur Dent
Kurzum, man sollte vielleicht besser die Finger von denkbaren "Erweiterungen" von Def 1 lassen. Augenzwinkern

Finde ich auch. Es verwirrt nur. Aber das sehen einige Leute wohl anders.

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