summenfolge und ihr grenzwert???

18.09.2006, 20:59

kranichstein

summenfolge und ihr grenzwert???

servus,

folgende summenfolge, die von i=1 bis n geht: $\begin{eqnarray*} \frac{2i+1}{i²(i+1)²} \end{eqnarray*}$
bitte auch tipp geben, mit welcher regel oder sonstigem hier der grenzwert erfahren werden kann

18.09.2006, 21:16

sqrt4

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Du meinst
$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{2i+1}{i^2(i+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2i+1}{i^2(i+1)^2}=\frac{i^2+2i+1-i^2}{i^2(i+1)^2}=\frac{(i+1)^2 -i^2}{i^2(i+1)^2}=\frac{1}{i^2}-\frac{1}{(i+1)^2} \end{eqnarray*}$

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{2i+1}{i^2(i+1)^2} =\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2} =\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}- \sum _{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Sry wenn ich jetzt einfach die Lösung gepostet hab.

Zu deiner Frage welche Methode man hier anwendet.
Also mir ist einfach das $\begin{eqnarray*} 2i+1 \end{eqnarray*}$ sofort ins Auge gestochen (binomische Formel). Weiß nicht ob´s anders auch geht. Vielleicht den Term raten und mit Induktion beweisen...
Aber ich bin leider unwissender Schüler und kann dir da nicht wirklich weiterhelfem..

18.09.2006, 21:21

swerbe

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Hallo kranichstein,

rechne doch vielleicht erst einmal die ersten paar Summen aus (vielleicht auch mittels eines CAS), d.h. setze $\begin{eqnarray*} n=1,2,3,4,5,\ldots \end{eqnarray*}$ . Was fällt dir bei den Partialsummen von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\frac{2i+1}{i^2(i+1)^2} \end{eqnarray*}$ auf?
Was für eine Regelmäßig erkennst du?

Wenn du diese "Regelmäßigkeit" für allgemeines $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gefunden hast, musst du diese noch Beweis. Hier ist die vollständige Induktion dein Freund Augenzwinkern

gruß
swerbe

18.09.2006, 21:51

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Zitat:

Original von sqrt4
Sry wenn ich jetzt einfach die Lösung gepostet hab.

Gelegentlich muss das wohl mal sein. Augenzwinkern

Zu erwähnen ist noch, dass sowas unter dem Begriff Teleskopsumme bekannt ist.

18.09.2006, 22:14

kranichstein

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mir gehts aber um den grenzwert dieser folge
aber schon mal danke

18.09.2006, 22:17

kranichstein

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Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{2i+1}{i^2(i+1)^2} =\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2} =\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}- \sum _{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

wie kommt man jetzt drauf aus (i+1)² ein i² zu machen...und wie kommt man auf die eins, die nach dem letzten gleichzeichen im quote steht
sorry stehe hier grad aufm schlauch

18.09.2006, 22:24

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Schau mal auf die zugehörigen Summationsgrenzen! Nennt man auch Indexverschiebung.

18.09.2006, 22:27

sqrt4

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Also ich schreibs mal anschaulich hin:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Aber
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}=\sum_{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2} \end{eqnarray*}$

18.09.2006, 22:32

sqrt4

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Zitat:

Original von kranichstein

Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{2i+1}{i^2(i+1)^2} =\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2} = \sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2}- \sum _{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2} =1-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

wie kommt man jetzt drauf aus (i+1)² ein i² zu machen...und wie kommt man auf die eins, die nach dem letzten gleichzeichen im quote steht
sorry stehe hier grad aufm schlauch

$\begin{eqnarray*} \sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2} - \sum _{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2}=\frac{1}{1^2}+\sum _{i=2}^n \frac{1}{i^2}- \sum _{i=2}^{n} \frac{1}{i^2} -\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

18.09.2006, 22:33

swerbe

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Falls dir Indexverschiebungen Schwierigkeiten machen, gehe doch einfach empirisch "durch probieren" (siehen meinen Beitrag oben) an die Sache ran, indem du einfach Werte einsetzt. Da der Zähler immer ums 1 kleiner ist als der Nenner ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\frac{2i+1}{i^2(i+1)^2}=\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ .

gruß
swerbe

18.09.2006, 23:17

kranichstein

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ja den letzten post schon verstanden, das kann man ganz einfach durch vollst. induktion beweisen...aber erstmal auf die formel auf der rechten seite kommen

ansonsten habe ich alles verstanden, vielen dank für die mühe und geduld

18.09.2006, 23:26

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$\begin{eqnarray*} \left[ \sum _{i=1}^n \frac{1}{i^2} \right] - \left\{ \sum _{i=2}^{n+1} \frac{1}{i^2} \right\} = \left[ \frac{1}{1^2}+\sum _{i=2}^n \frac{1}{i^2} \right] - \left\{ \sum _{i=2}^{n} \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(n+1)^2} \right\} = \frac{1}{1^2}+\sum _{i=2}^n \frac{1}{i^2}- \sum _{i=2}^{n} \frac{1}{i^2} -\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

19.09.2006, 15:22

kranichstein

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jepp vielen dank nochmal

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