Differentialgleichung

23.06.2009, 17:10

LadyEnyce

Differentialgleichung

folgende Diffgl will ich lösen:

$\begin{eqnarray*} x''(t)+ w_0^2 x(t) =cos(wt) \end{eqnarray*}$

AW: $\begin{eqnarray*} x(0)=x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'(0)=v_0 \end{eqnarray*}$

mit dem Euleransatz komm ich auf folgende EW:

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=i\sqrt{-2w_0^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _{2}=-i\sqrt{-2w_0^2} \end{eqnarray*}$

ok ich hoffe einfach mal,dass die stimmen???

d.h doch:

$\begin{eqnarray*} x_1(t)=e^{\lambda_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2(t)=e^{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ ???

dh. die allgemeine Lösung der hom Gleichung wäre:

$\begin{eqnarray*} x_H(t)=C_1*x_1(t)+C_2*x_2(t) \end{eqnarray*}$

jetzt such die spez Lösung:

also: $\begin{eqnarray*} x_S(t)=C_1(t)*x_1(t)+C_2(t)*x_2(t) \end{eqnarray*}$

dazu hab ich die Wronski-Det ausgerechnet und komme auf:

$\begin{eqnarray*} -2i\sqrt{-2w_02} \end{eqnarray*}$

und dann hab ich wo gelesen dass man damit leicht $\begin{eqnarray*} C_1(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2(t) \end{eqnarray*}$ bestimmen kann nämlich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} C_1(t)=-\int_{b}^{a}~{ \frac{cos(wt)x_2(t)}{Wronski-Det} }~dt \end{eqnarray*}$

23.06.2009, 17:12

LadyEnyce

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meine Frage nun: darf man das so machen und was setze ich für Grenzen a und b ein????

23.06.2009, 18:52

klarsoweit

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RE: Differntialgleichung

Zitat:

Original von LadyEnyce
mit dem Euleransatz komm ich auf folgende EW:

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=i\sqrt{-2w_0^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _{2}=-i\sqrt{-2w_0^2} \end{eqnarray*}$

Kannst du erklären, wie du darauf gekommen bist? Interessant ist auch, daß du unter der Wurzel einen negativen Term stehen hast.

23.06.2009, 18:56

LadyEnyce

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RE: Differntialgleichung
ich hab meine EW nochmal nachgerechnet und jetzt folgende raus:

$\begin{eqnarray*} \lambda _1=iw_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _2=-iw_0 \end{eqnarray*}$

bekomm dann für die Wronski-Det: $\begin{eqnarray*} -2iw_0 \end{eqnarray*}$

jetzt weiss ich eben nur nicht was ich dann für Integrationsgrenzen einsetzen muss, kannst du mir da weiter helfen?

23.06.2009, 20:00

LadyEnyce

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RE: Differntialgleichung
ich muss wissen was für grenzen ich einsetzen muss, hilft mir doch jmd bitte

23.06.2009, 22:28

LadyEnyce

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RE: Differntialgleichung
ich such immernoch jmd der mir hilft....