Faktorraum

23.06.2009, 18:41

Nils20

Faktorraum

Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi: V\mapsto V/U \end{eqnarray*}$ die kanonische Projektion.

Zeigen Sie:

a) Für jeden Unterraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ist das Urbild $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(W) \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ umfasst.

b) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} W\mapsto \pi^{-1}(W) \end{eqnarray*}$ liefert eine Bijektion

$\begin{eqnarray*} \phi:\{W|W \text{ Unterraum von } V/U\}\mapsto \{W'|W' \text{ Unterraum von } V \text{ mit } W'\nsupseteq U\} \end{eqnarray*}$

Dabei gilt $\begin{eqnarray*} W_1\subseteq W_2 \Leftrightarrow \pi^{-1}(W_1)\subseteq \pi^{-1}(W_2) \end{eqnarray*}$

Zu a)

Das $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ist, sollte bedeuten, dass folgendes gilt:

1) $\begin{eqnarray*} \pi(a)+\pi(b)=(a+W)+(b+W)=(a+b)+W=\pi(a+b) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \lambda \pi(a)=\lambda(a+W)=\lambda a+W=\pi(\lambda a) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} 0\in W \end{eqnarray*}$

Muss ich nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(\pi(a))+\pi^{-1}(\pi(b))=\pi^{-1}(\pi(a+b)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \pi^{-1}(\pi(a))=\pi^{-1}(\pi(\lambda a)) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 0\in \pi^{-1}(W) \end{eqnarray*}$

Danke

23.06.2009, 19:06

WebFritzi

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Für alle u aus U gilt $\begin{eqnarray*} \pi(u) = 0. \end{eqnarray*}$ Jeder Unterraum von V/U enthält den Nullvektor.

23.06.2009, 19:06

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von Nils20
b) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} W\mapsto \pi^{-1}(W) \end{eqnarray*}$ liefert eine Bijektion

$\begin{eqnarray*} \phi:\{W|W \text{ Unterraum von } V/U\}\mapsto \{W'|W' \text{ Unterraum von } V \text{ mit } W'\nsupseteq U\} \end{eqnarray*}$

Hier soll sicher $\begin{eqnarray*} W'\supseteq U \end{eqnarray*}$ stehen oder?

Zitat:

Original von Nils20
Das $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ist, sollte bedeuten, dass folgendes gilt:

1) $\begin{eqnarray*} \pi(a)+\pi(b)=(a+W)+(b+W)=(a+b)+W=\pi(a+b) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \lambda \pi(a)=\lambda(a+W)=\lambda a+W=\pi(\lambda a) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} 0\in W \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch. $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist schon Teilmenge eines Faktorraums, besteht also selbst aus Äquivalenzklassen. Es ist also $\begin{eqnarray*} \pi(a)=a+U \end{eqnarray*}$ , da man sich ja im Faktorraum nach $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bewegt. Obige Bedingungen haben auch nichts mit der Unterraumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ zu tun.

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} W':=\pi^{-1}(W)=\{a\in V\ |\ \pi(a)\in W\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, der $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthält. Letzteres ist ziemlich klar (warum?), und dass es ein Unterraum ist, zeigt man einfach mit dem Unterraumkriterium:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in W' \end{eqnarray*}$ . Du musst zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} a+b\in W' \end{eqnarray*}$ gilt. Benutze dafür einfach nur die Definition von $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ .

23.06.2009, 21:08

Nils20

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hallo!

Zitat:

Hier soll sicher $\begin{eqnarray*} W'\supseteq U \end{eqnarray*}$ stehen oder?

Ja da hast du recht.

Also, dann versuche ich es mal:

Sei $\begin{eqnarray*} a,b\in W' \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a+b \Rightarrow \pi(a)+\pi(b)=\pi(a+b)\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b\in V\Righarrow a+b\in W' \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a\in W' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda\in k \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda a\Rightarrow \lambda\pi(a)=\pi(\lambda a)\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda a\in V\Rightarrow \lambda a\in W' \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

23.06.2009, 21:11

Nils20

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Zitat:

Original von Nils20

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hallo!

Zitat:

Hier soll sicher $\begin{eqnarray*} W'\supseteq U \end{eqnarray*}$ stehen oder?

Ja da hast du recht.

Also, dann versuche ich es mal:

Sei $\begin{eqnarray*} a,b\in W' \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a+b \Rightarrow \pi(a)+\pi(b)=\pi(a+b)\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b\in V\Rightarrow a+b\in W' \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a\in W' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda\in k \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda a\Rightarrow \lambda\pi(a)=\pi(\lambda a)\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda a\in V\Rightarrow \lambda a\in W' \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

23.06.2009, 21:12

Mathespezialschüler

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Die Reihenfolge, in der die Gleichungen aufgeschrieben sind, entspricht nicht der Reihenfolge der notwendigen Argumentation. Außerdem sieht man nicht, wo du benutzt hast, dass $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist.

Aus $\begin{eqnarray*} a,b\in W' \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \pi(a),\pi(b)\in W \end{eqnarray*}$ und daraus ergibt sich, weil $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ linear ist, $\begin{eqnarray*} \pi(a+b)=\pi(a)+\pi(b)\in W \end{eqnarray*}$ , also folgt jetzt $\begin{eqnarray*} a+b\in W' \end{eqnarray*}$ .

Analog macht man dies für die skalare Multiplikation.

23.06.2009, 21:21

Nils20

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Hmm ich glaube ich habe es verstanden.

Also bei der skalaren Multiplikation müsste es so gehen:

Sei $\begin{eqnarray*} a\in W', \lambda \in k \end{eqnarray*}$ , dann folgt: $\begin{eqnarray*} \pi(a)\in W \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ linear ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \pi(\lambda a)=\lambda \pi(a)\in W \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda a\in W' \end{eqnarray*}$ ist.

Stimmt das?

23.06.2009, 23:11

Mathespezialschüler

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Ja.

23.06.2009, 23:40

Nils20

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Hmm, jetzt weiß ich allerdings nicht wieso das ein Unterraum von V ist der U enthält.
Du sagst, das ist einfach aber ich finde einfach nicht die Erklärung.

Bei der b) ist meine Frage, dass ich die Aufgabe schon nicht verstehe.
Muss ich da zeigen dass das ne Bijektion ist oder darf ich das voraussetzen und muss die Äquivalenz zeigen?

Danke

24.06.2009, 01:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Nils20
Hmm, jetzt weiß ich allerdings nicht wieso das ein Unterraum von V ist der U enthält.
Du sagst, das ist einfach aber ich finde einfach nicht die Erklärung.

Ich habe dir diese gegeben:

Zitat:

Original von WebFritzi
Für alle u aus U gilt $\begin{eqnarray*} \pi(u) = 0. \end{eqnarray*}$ Jeder Unterraum von V/U enthält den Nullvektor.

W enthält den Nullvektor. Also gilt $\begin{eqnarray*} \{0\}\subset W, \end{eqnarray*}$ woraus folgt: $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(\{0\})\subset\pi^{-1}(W). \end{eqnarray*}$ Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} U\subset\pi^{-1}(\{0\}) \end{eqnarray*}$ zeigen. Tatsächlich gilt sogar Gleichheit, aber das ist hier ja nicht gefordert - obwohl es trivial ist.

24.06.2009, 02:20

Mathespezialschüler

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Zur b): Ich denke, du sollst die Bijektivität und die angegebene Eigenschaft zeigen.

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