Positiv definite Matrizen

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23.06.2009, 20:41	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv definite Matrizen Guten Abend, ich schreibe bald HM2 und stehe bei Durcharbeiten der relevanten Themen vor einem Problem. Der Prof hat in der Vorlesung einen Beweis geführt, denn ich nicht ganz verstehe, es geht um positiv definite Matrizen (analog negativ definite): $\begin{eqnarray} f: D -> \mathbb R , D\leq \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray}$ , A invertierbar symmetrisch - A ist positiv definit, falls $\begin{eqnarray} q_{A}(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x} > 0 \end{eqnarray}$ Hier ist mein erstes Problem Ich weiß, dass die Eigenwerte einer Matrix alle positiv sein müssen, damit sie positiv definit ist. Aber warum muss die Bedingung oben gelten? Was bedeutet sie überhaupt? Vielen Dank für euere Bemühungen. mfg Pazaitis
23.06.2009, 21:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiv definite Matrizen Öhm, dass ist die Definition von pos. definit....
24.06.2009, 04:17	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Thaser: Das ist eine Frage der Definiton. Für eine symmetrische Matrix A gilt $\begin{eqnarray} \text{Alle Eigenwerte von A sind positiv } \Longleftrightarrow\;x^TAx > 0 ,\text{ für alle }\, x\neq 0. \end{eqnarray}$ Der Beweis dieser Aussage gestaltet sich sehr einfach, wenn man die Diagonalisierbarkeit von A zu Hilfe nimmt.
24.06.2009, 12:15	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke bis dahin, es ist nicht so dass ich mir gar keine gedanken dazu gemacht hätte, aber ich kriege diesen Beweis (mit Diagonalisierung etc.) nicht hin? Könnt ihr mir da nochmal kurz helfen? Vielen dank.
24.06.2009, 14:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} A = UDU^T \end{eqnarray}$ mit einer Diagonalmatrix D und einer orthogonalen Matrix U (es ist also $\begin{eqnarray} U^T = U^{-1}). \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} x^TAx = x^TUDU^Tx = (U^Tx)^T D (U^Tx) = y^TDy \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y = U^Tx. \end{eqnarray}$ Beachte, dass $\begin{eqnarray} \\|y\\| = \\|x\\| \end{eqnarray}$ gilt, da U orthogonal ist. In D stehen die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1,\dots,\lambda_n \end{eqnarray}$ von A. Daher folgt $\begin{eqnarray} x^TAx = x^TUDU^Tx = (U^Tx)^T D (U^Tx) = y^TDy = \lambda_1y_1^2 + \dots + \lambda_ny_n^2. \end{eqnarray}$ Jetzt solltest du weiterkommen.
24.06.2009, 19:14	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh Vielen lieben dank, leuchtet jetzt ein, dass die Lambas positiv sein müssen, weil Xn ja immer positiv ist. Nur noch eine Kleinigkeit: Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und soll beweisen, dass sie positiv definit ist, wenn die Eigenwerte positiv sind. Nun will ich wissen, ob meine Beweisführung so ok ist: Erstmal: $\begin{eqnarray} P_A(x) = x²-(a+d)x+ad-b² = P_D(x)=x²-(\lambda _1+\lambda _2)x+\lambda _1\lambda _2 \end{eqnarray}$ mit D als Diagonalmatrix. $\begin{eqnarray} '' \Rightarrow '' \end{eqnarray}$ mit Koeffizientenvergleich: A positiv definit = > $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2 > 0 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \lambda _1\lambda _2=ad-b²=det(A)>0 \Rightarrow a,d>0 v a,d<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+d=\lambda _1+\lambda _2 \Rightarrow a,d>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a>0 \end{eqnarray}$ q.e.d Frage: Ist der Beweis in sich schlüssig bzw. muss ich noch in die andere Richtung beweisen? "<==" ? Vielen Dank
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24.06.2009, 19:36	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, was du da machst. Verstehst du es?
24.06.2009, 20:55	Thaser	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ich habe versucht zu beweisen, dass speziell eine 2x2 Matrix positiv definit ist, wenn ihre Eigenwerte alle größer null sind. Dazu habe ich das charakteristische Polynom der Matrix A mit dem charakteristischen Polynom der Diagonamatrix (lamba 1 - lamda n) gleichsetzt und die Koeffizienten verglichen. Ich hoffe du kannst es etwas besser jetzt nachvollziehen. Mir geht es in erster Linie darum, ob der Beweis an sich schlüssig ist, da er in einer etwas anderen Form in der Vorlesung drankam. Vielen dank
25.06.2009, 03:45	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke. Deine Schlussfolgerungen sind ok.

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