Eigenwerte

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Nubler Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte
weiss nich, ob des in stochastik gehört, aber hier scheint es zumindest nicht zu falsch zu sein.

es geht um das spektrum von stochastischen matrizen.
eine stochastische matrix kennzeichnet folgendes:
sämtliche Einträge stammen aus dem Intervall und die zeilensumme ist 1.
und die dinger sind quadratisch

Es gilt die abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation.

meine Überlegung:
es gilt: Spur(A)=Summe der Eigenwerte=maximal n (dimension der matrix, wäre sie größer, müsste mindestens ein Eintrag >1 sein, was obigen widerspricht)

dies bedeudet aber auch, dass die summe der p-ten potenzen der Eigenwerte sein muss (abgeschlossenheit)

Annahme: es existiert ein eigenwert |c|>1
dann existiert eine natürliche zahl , so dass gilt:
, was nen widerspruch darstellt.
somit is das Spektrum

nun zwei sachen: kann man des auch iwie direkt zeigen und wie kann ich des machen, wenn ich im (raum der summierbaren folgen als basis) bin und meine Matrix sich verallgemeinert zu nen Operator, da die obige argumentation dann aufgrund der nicht-endlichkeit der Dimension hinfällig wird.
(obiges überhaupt so richtig?)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte
Zitat:
Original von Nubler
Annahme: es existiert ein eigenwert |c|>1
dann existiert eine natürliche zahl , so dass gilt:
, was nen widerspruch darstellt.


Ein Widerspruch wird erst daraus, wenn du p gerade wählst. Denn dann kannst du in der letzten Formelzeile anstatt schreiben. c kann ja auch negativ sein.

EDIT: Das war Blödsinn von mir. c kann ja auch nichtreell sein. Insofern ist dein "Beweis" also kein Beweis.


Zitat:
Original von Nubler
nun zwei sachen: kann man des auch iwie direkt zeigen


Keine Ahnung. Aber man kann es auch per Matrixnorm beweisen. Für sei Die Matrixnorm einer Matrix A ist nun wie folgt definiert:



Man zeigt leicht, dass die Matrixnorm einer stochastischen Matrix (wie du sie definierst) gerade Eins ist. Ein Satz aus der Funktionalanalysis besagt, dass der Spektralradius (also der Betrag des größten Eigenwertes) einer Matrix höchstens so groß wie ihre Matrixnorm ist.


Zitat:
Original von Nubler
und wie kann ich des machen, wenn ich im (raum der summierbaren folgen als basis) bin und meine Matrix sich verallgemeinert zu nen Operator, da die obige argumentation dann aufgrund der nicht-endlichkeit der Dimension hinfällig wird.


Da wird es schonmal mit der Definition schwer. Der Operator A sollte dann analogerweise so definiert sein:



mit für alle i,j und



So ist A wohldefiniert auf denn



Es ist aber



Damit dies konvergiert, schlage ich vor, dass man anstatt der Zeilensumme 1 (siehe (1)) die Spaltensumme 1 wählt:



Dann gilt nämlich



Das zeigt dann auch, dass die Norm von A (und damit auch der Spektralradius von A) höchstens Eins ist.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

mir fällt da grad was ein:



stochastische matrix mit den primitiven dritten einheitswurzeln als eigenwerte.
somit müsst ich eigentlich ein p finden, dessen realteil größer n wird. (sollte kein prob sein, wenn ich von ew von der Form ;r>1) (btw: sind auch ew möglich, die betragsmäßig 1 sind, aber keine einheitswurzeln sind?)
(iwie glaub ich, ich mach mir des alles viel zu schwer...)

warum ich mir des überleg:

im zusamenhang der betrachtung des verhaltens von makovketten für lange zeiten hab ich mir überlegt, dass ich ja die matrix über C jordanisieren kann um die einfach zu potenzieren zu können.
dann wollt ich mir erst mal die jordanblöcke zu den eigenwerten anschaun. (z:=eigenwert) und entscheiden:
konvergenz für |z|<1 oder z=1
periodizität für |z|=1, wobei ist.
und für |z|>1 würde eben der Block und somit die ganze Matrix divergieren.

wegen oben: bin von diagonalisierbarkeit ausgegangen, aber inzwischen frag ich mich, ob die wirklich immer diagonalisierbar sind. (deswegen etz erst mal jordan)

wegen der spaltensummennorm: die muss imo eben nicht konvergieren, da ich mir ne stochastische Matrix (nen operator) bauen kann die in einer spalte nur 1-er enthält und sonst nur 0.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nubler
wegen der spaltensummennorm: die muss imo eben nicht konvergieren, da ich mir ne stochastische Matrix (nen operator) bauen kann die in einer spalte nur 1-er enthält und sonst nur 0.


Ach nee... Dies zeigt, dass du meinen Beitrag gar nciht ordentlich durchgelesen hast. Schade eigentlich, wenn man bedenkt, dass ich da meine Zeit reingesteckt habe (für DICH!). Auch sonst gehst du mit keinem Wort auf meinen Beitrag ein. Was ist das nun wieder für ein Verhalten... unglücklich Ich habe dir doch gezeigt, wie du im Endlichdimensionalen ohne die Spur auskommst.


Nochmal zur Zeilen- bzw. Spaltensumme: Es sollte doch so sein, dass wenn x ein stochastischer Vektor ist, der Vektor Ax wieder ein solcher ist. Das ist aber dann der Fall, wenn die Spaltensumme jeweils 1 ist. Bei deinen Matrizen ist für stochastische Vektoren wieder ein stochastischer Vektor. Demnach sollte der Operator in l^1 nicht x auf Ax abbilden, sondern x auf was dann auch wieder Sinn macht. Weiter ausführen will ich das jetzt nicht, weil von dir ja nichts kommt.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, war oben nicht ganz bei der Sache, wenns so rüberkommt (häuft sich iwie in letzter zeit... -_-).
etz is es klar.
thx
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