Gewöhnliche Differentialgleichung

23.06.2009, 22:53

infostudent10

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Gewöhnliche Differentialgleichung

Hi bin neu hier und hab da ein problem mit folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungen von
$\begin{eqnarray*} <br /> x= \frac{2\frac{x}{t}^{2}-1}{\frac{x}{t}}<br /> \end{eqnarray*}$

zu den anfangswerten
(a) x(1)=1
(b)x(1)=3

wobei bei der gleichung x=
über dem x ein punkt ist

und bei (x/t)² sich das hoch 2 auf den ganzen bruch bezieht

so also ich bin soweit gekommen logarithmische integration angewendet habe und da hab ich am ende für (a)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}ln x +1<br /> \end{eqnarray*}$
für (b)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} ln x +3<br /> \end{eqnarray*}$

bin ich da auf dem richitgen weg ???

23.06.2009, 22:59

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Zitat:

Original von infostudent10
Bestimmen Sie die Lösungen von
$\begin{eqnarray*} x= \frac{2\frac{x}{t}^{2}-1}{\frac{x}{t}} \end{eqnarray*}$

Sieht für mich nach einer ganz normalen quadratischen Gleichung aus.

Kann es sein, dass du abweichend davon eigentlich

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = \frac{2\left( \frac{x}{t} \right)^{2}-1}{\frac{x}{t}} \end{eqnarray*}$

meinst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.06.2009, 23:02

infostudent10

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genau das mein ich Big Laugh

Big Laugh

bin ich da wenigstens auf dem richitgen weg??

23.06.2009, 23:21

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Tut mir leid, ich kann an deinen Ausführungen keinen Lösungsversuch erkennen, nicht mal ansatzweise. unglücklich

unglücklich

Ein Blick in die jüngere Boardgeschichte lohnt, vielleicht ein Kommilitone von dir:

Anfangswertproblem und Lösung einer DGL

23.06.2009, 23:33

infostudent10

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also ich hab die logarithmische integration benutzt:

der nenner ist ja sehr ähnlich wie die ableitung von dem zähler, da muss man nur noch mit 1/4 multilpizieren und davon die stammfunktion ergibt doch 1/4 lnx +C dachte ich jedenfalls
wenn ich mir aber die lösugswege von meinem komillitonen anschaue wird da ja anders vorgegangen, is denn mein ansatz denn komplatt falsch?

23.06.2009, 23:36

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Zitat:

Original von infostudent10
also ich hab die logarithmische integration benutzt

Was meinst du damit - bitte genaue Ausführung!

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23.06.2009, 23:44

infostudent10

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also hab diese formel benutzt

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f´(x)}{f(x)}~dx = ln | f(x) | +C<br /> \end{eqnarray*}$

dann hab ich ln f(x) hingeschrieben mit dem 1/4 davor weil der zähler und nenner dann gelcih sind.

sry sollte im zähler die erste ableitung von f(x) stehen, bin noch anfänger was latex betrifft

23.06.2009, 23:48

AD

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Das ist schon wieder zu allgemein: KONKRET WERDEN, bezogen auf die vorliegende DGL.

P.S.: Wenn du willst, dass ich zu deinem Rechenweg was sage, dann muss ich ihn zunächst mal kennen - Schritt für Schritt. Kein Wischiwaschi.

23.06.2009, 23:52

infostudent10

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sry wollte ja nur wissen ob das überhaupt ein richtger ansatz ist damit erst anzufangen

also :
ich hab den zähler abgeleitet das ergibt 4( x/t) und dann mit 1/4 multipliziert damit x/t rauskommt, das hab ich dannja im nennerauch stehen, und dann in die formel eingesetzt, bin mir allerdings nich sicher ob ich dann im ergebins diese 1/4 mit reinnehmen muss

23.06.2009, 23:59

AD

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Willst du nicht, oder kannst du dich nicht genauer ausdrücken?

Du leitest also den Zähler $\begin{eqnarray*} 2\left( \frac{x}{t} \right)^2-1 \end{eqnarray*}$ ab - nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nehme ich an?

Das ergibt nach Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} \left[ 2\left( \frac{x}{t} \right)^2-1 \right] = 4\left( \frac{x}{t} \right) \cdot \frac{\dd}{\dd t} \left[ \frac{x}{t} \right] = \frac{4x}{t} \cdot \frac{\dot{x}\cdot t-x}{t^2} \end{eqnarray*}$ ,

schön. Und was bringt das für die DGL? verwirrt

verwirrt

24.06.2009, 00:03

infostudent10

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ich dachte wenn ich 2(x/t)²-1 ableite kommt 4 x/t raus, dann ist das sowieso alles quatsch was ich gemacht hab

muss das dann wohl anders angehn :-(

24.06.2009, 00:05

AD

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Wenn du direkt integrieren willst, dann klappt das so wie du dir das vorstellst nur mit getrennten Variablen, also von der Struktur

$\begin{eqnarray*} f(x)\cdot \dot{x} = g(t) \end{eqnarray*}$

So gemischt wie hier wird das nix. unglücklich

unglücklich

24.06.2009, 00:11

infostudent10

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mit getrennten variablen hmm
ich informier mich mal wie das funktioniert
ich schreib dann mal später vielleicht falls du dann noch online bist

danke für deine antworten

ich weiß das ich sehr schlecht in höma bin...aber muss das irgendwie hinkriegen

24.06.2009, 00:14

AD

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Du bist eher schlecht im Zuhören - schließlich steht im verlinkten Thread sehr konkret der Ansatz zur Lösung, und mehr noch.

24.06.2009, 00:21

infostudent10

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ah cool versteh ich was du da gemacht hast,

$\begin{eqnarray*} y't + y = \frac{2y^2-1}{y} \end{eqnarray*}$
umgestellt
$\begin{eqnarray*} y'\cdot \frac{y}{y^2-1} = \frac{1}{t}<br /> \end{eqnarray*}$

nur die umstellung sieht ja sehr kompliziert aus

24.06.2009, 00:36

infostudent10

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Zitat:

Original von Maltte
Achso, okay und dann habe ich getrennte Varialben und integriere das:
$\begin{eqnarray*} y'\cdot \frac{y}{y^2-1} = \frac{1}{t} \Rightarrow \int_{}^{}~ \frac{y}{y^2-1}~dy = \int_{}^{}~\frac{1}{t}~dt \Rightarrow \frac{ln(y^2-1)}{2} = ln(t) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

ich versteh nicht wie er y / y² -1 aufleitet, kommt da nciht ln (y-1) raus aber bei ihm steht ln (y²-1) / 2

24.06.2009, 02:05

Mathespezialschüler

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Das stimmt schon, was dort steht. Einfach mal ableiten! Du kannst auch deinen Vorschlag ableiten und sehen, dass dieser falsch ist.

24.06.2009, 02:24

infostudent10

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ja stimmt danke

ich versuch grad
$\begin{eqnarray*} \dot{x} -2x = cos (t) , x(0)=0 \end{eqnarray*}$

Lösen sie die anfangswertprobleme

ich muss die homogene gleichung lösen soviel weiß ich aber das wars schon kanns du mir helfen?

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