partielle Ableitung f(x,y,z)

24.06.2009, 02:23

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

partielle Ableitung f(x,y,z)

Hallo

Wink

Ich habe hier eine Aufgabe vorliegen

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2+2*x*y*z^2- \sqrt{x^2+z^2} \end{eqnarray*}$

die ich partiell nach x,y,z ableiten und anschließend den Gradienten bestimmen soll.
Leider bin ich mir nicht so ganz sicher ob ich die Funktion vereinfachen kann, und wie ich mit der Wurzel umgehen muss.

Mein Ansatz sieht so aus bis jetzt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2+2*x*y*z^2- \sqrt{x^2+z^2} \\ f(x,y,z)=x^2+2*x*y*z^2- \sqrt{x^2}+\sqrt{z^2} \\ f(x,y,z)=x^2+2*x*y*z^2-x+z \end{eqnarray*}$

Damit würde ich jetzt die partielle Ableitung durchführen.

Ist der Ansatz richtig?

24.06.2009, 07:34

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: partielle Ableitung f(x,y,z)

Zitat:

Original von cod3r
Mein Ansatz sieht so aus bis jetzt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2+2*x*y*z^2- \sqrt{x^2+z^2} \\ f(x,y,z)=x^2+2*x*y*z^2- \sqrt{x^2}+\sqrt{z^2} \end{eqnarray*}$

Seit wann darf man denn das?
Zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\neq7=3+4=\sqrt{3^2}+\sqrt{4^2} \end{eqnarray*}$
[Potenzgesetze nachlernen !!]

Schreibe lieber die Wurzel als Exponent und leite dann ordentlich ab.

27.06.2009, 09:29

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

entschuldigt bitte, dass ich so lange nicht reagiert habe. Mir ist meine Festplatte verraucht und da musste erst Ersatz hin.

Vielen Dank für den Hinweis system-agent.

Meine Ableitung lautet wie folgt:

abgeleitet nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2*x + 2*y*z - \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach y:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2*x*z^2 - \sqrt{x^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach z:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + 4*x*y*z - \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

Den Gradienten bestimme ich doch jetzt, indem ich alle Terme auf einen Nenner bringe und zusammenfasse, oder? (Entschuldigt meine Unsicherheit, bin noch nicht wirklich fit in dem Thema)

Viele Grüße

27.06.2009, 10:23

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitungen stimmen nicht. Was ist zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial z}x^2 \end{eqnarray*}$

Cordovan

27.06.2009, 10:35

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also es ist ja kein z vorhanden und nach diesem soll ja abgeleitet werden; Alles andere bleibt konstant.

Würde für mich jetzt heißen, dass die Funktion so stehen bleibt. $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ bleibt ja Konstant und ein z ist nicht vorhanden.

Ist das so korrekt, oder habe ich es einfach nicht verstanden partiell abzuleiten?

EDIT:
Ahhhh, ich habe einen Fehler entdeckt bei der Ableitung nach z.
Das muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + 4*x*y*z - \frac{z}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

27.06.2009, 12:46

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast fast richtig nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abgeleitet, aber über den ersten Summanden mach dir nochmals Gedanken...

Nochmals:
Beim partiellen Ableiten betrachtest du alles Variablen als Konstanten bis auf diese, nach der du ableitest. Was ist denn die Ableitung einer konstanten Funktion?

Nochmal zum üben:
$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=x^2y^2z^2+xyz-\sin(xy)z \end{eqnarray*}$
Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)=2xy^2z^2+yz-\cos(xy)yz \end{eqnarray*}$
Nun erkläre mal wie jeder Einzelne der drei Summanden zustande kam.

Anzeige

27.06.2009, 13:00

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt versucht denn Gradienten zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} grad (f(x)) = \begin{pmatrix} 2x+2yz-\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \\ x^2+2xz^2-\sqrt{x^2+z^2} \\ x^2+4xyz-\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist dieser korrekt?

EDIT: Ich muss erstnochmal den vorigen Post bearbeiten. DIESER Gradient ist NICHT korrekt.

27.06.2009, 13:11

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

ok...

x²y²z² = 2xy²z² // Hier wird nur das x abgeleitet

xyz = yz // Hier wird ebenfalls nur das x abgeleitet

bei

sin(xy)z = cos(xy)yz // Da hast du die Kettenregel angewendet. Äußere * Innere

Auf meine Aufgabe bezogen heißt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + 2xz2z - \frac{z}{ \sqrt{x^2+z^2} } \end{eqnarray*}$

Hm, das ist jetzt so das einzige was mir aufgefallen ist. Das würde dann doch für den Gradienten bedeuten:

$\begin{eqnarray*} grad (f(x)) = \begin{pmatrix} 2x+2yz-\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \\ x^2+2xz^2-\sqrt{x^2+z^2} \\ x^2+2xy2z-\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.06.2009, 13:43

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Nochmals:
Beim partiellen Ableiten betrachtest du alle Variablen als Konstanten bis auf diese, nach der du ableitest. Was ist denn die Ableitung einer konstanten Funktion?

Als Bsp
$\begin{eqnarray*} h(x,y,z) = y^2 + 5xz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial h}{\partial x}(x,y,z) = 5z \end{eqnarray*}$

27.06.2009, 13:49

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist jetzt das y^2 weg? Das wird doch als Konstante behalten, oder? *verwirrt*

27.06.2009, 13:56

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir mal im Eindimensionalen:
$\begin{eqnarray*} k(x) = 5x + a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante.

$\begin{eqnarray*} k'(x) = 5 \end{eqnarray*}$
Die Kostante fällt weg.

Denk dir statt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irgendeine Zahl (zB 10). Diese fällt beim Ableiten weg. Und im Mehrdimensionalen fallen Konstanten auch weg.

27.06.2009, 14:34

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cod3r

Meine Ableitung lautet wie folgt:

abgeleitet nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2*x + 2*y*z - \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach y:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2*x*z^2 - \sqrt{x^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach z:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + 4*x*y*z - \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

Hm, mir ist da noch ein Fehler aufgefallen, den ich jetzt korrigiere und ich hoffe dann ist es richtig. Wenn nicht, bitte beim Kommentar angeben, bei welcher Ableitung. Ich blicke irgendwie nicht mehr durch Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x^2 + 2xyz^2 - \sqrt{x^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung lautet wie folgt:

abgeleitet nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2*x + 2*y*z^2 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach y:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2*x*z^2 - \sqrt{x^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach z:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + 4*x*y*z - \frac{z}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

27.06.2009, 14:41

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cod3r
abgeleitet nach y:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2*x*z^2 - \sqrt{x^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach z:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} = x^2 + 4*x*y*z - \frac{z}{\sqrt{x^2 + z^2}} \end{eqnarray*}$

Diese sind immernoch falsch.

Nochmals die Frage: Was passiert beim Ableiten mit einer Konstanten? Wieso passiert das?

(i) Nehme dann $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2+a^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

(ii) $\begin{eqnarray*} h(x,a)=x^2+a^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

(iii) $\begin{eqnarray*} s(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

27.06.2009, 14:43

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch:

Zitat:

Original von cod3r
abgeleitet nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2\cdot x\cdot z^2 - \sqrt{x^2 + z^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ zB fällt weg, da es ja als Konstante betrachtet wird.

Die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist auch falsch.

Es wäre nett, wenn du auf unsere Beitrage reagieren bzw. eingehen würdest. unglücklich

unglücklich

27.06.2009, 15:40

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent

Nochmals die Frage: Was passiert beim Ableiten mit einer Konstanten? Wieso passiert das?

(i) Nehme dann $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2+a^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

(ii) $\begin{eqnarray*} h(x,a)=x^2+a^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

(iii) $\begin{eqnarray*} s(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Von (i) - (iii) leite ich nur nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sehe ich als Konstante an und die fallen weg. Das heißt für (i) - (iii) das die Ableitungen jeweils immer $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ sind.

Wäre jetzt allerdings ein Produkt dabei von $\begin{eqnarray*} xa \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ dann würde das nicht so einfach wegfallen.

Ich nehme jetzt ein frei erfundenes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g(x,z)= x^2*z^2 + 3x^3 + 2z^2 \end{eqnarray*}$

Dann wäre nach x abgeleitet übriggeblieben: $\begin{eqnarray*} 2x*z^2 + 9x^2 \end{eqnarray*}$
und nach z abgeleitet: $\begin{eqnarray*} 2x^2z + 4z \end{eqnarray*}$

Wie eierkopf1 und system-agent mir erklärt haben fällt bei meinen Ableitungen nach y und z das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ weg, weil es eine Konstante ist.

So langsam glaube ich, ich habs verstanden.

Es tut mir leid, dass ich so wenig auf Euch eingegangen bin. Jedesmal wenn ich was gelesen habe, dann habe ich gedacht: "Ah, jetzt haste es.", und hab einfach wild drauf rum gekritzelt. Sorry.

Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, würde ich noch mal versuchen meine Gleichungen aufzustellen. Frage: Ist denn meine Wurzel jeweils richtig abgeleitet mit der Kettenregel?

Vielen, vielen Dank

27.06.2009, 15:44

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Die Wurzel ist richtig abgeleitet. (Nur bei der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ natürlich nicht.)

27.06.2009, 16:01

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Wink

So, neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)= x^2+2xyz^2 - \sqrt{x^2+z^2} \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}= 2x+2yz^2-\frac{x}{ \sqrt{x^2+z^2} } \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach y:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = 2xz^2 \end{eqnarray*}$

abgeleitet nach z:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z}= 4xyz-\frac{z}{ \sqrt{x^2+z^2} } \end{eqnarray*}$

Das ergibt den Gradienten:

$\begin{eqnarray*} grad (f(x))= \begin{pmatrix} 2x+2yz^2-\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \\ 2xz^2 \\ 4xyz - \frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hmmm, das war jetzt nach besten Wissen und Gewissen. Big Laugh

Big Laugh

27.06.2009, 16:10

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Kleinigkeit:
EDIT:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{grad} f(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2x+2yz^2-\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \\ 2xz^2 \\ 4xyz - \frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.06.2009, 19:59

cod3r

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Geduld!

Tanzen

Tanzen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »