Unendlichkeitsregeln

24.06.2009, 03:41

Cliffhanger

Unendlichkeitsregeln

Hallo Leute! Ich habe folgenden Term

$\begin{eqnarray*} (\infty - 5 )* \frac{30-\infty}{0,3} \end{eqnarray*}$
ergebnis müsste
$\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ sein...theoretisch

was ich persönlich nicht verstehe....

ich könnte diese formel ja auch wie folgt anschreiben....
$\begin{eqnarray*} \infty * \frac{30-\infty}{0,3} - 5 * \frac{30-\infty}{0,3} \end{eqnarray*}$
aber für mein dafürhalten kommt in diesem fall
$\begin{eqnarray*} -\infty + \infty \end{eqnarray*}$ heraus... was ja nicht definiert ist...wo liegt da mein Denkfehler!?

dank euch schonmal Augenzwinkern

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen (klarsoweit)

24.06.2009, 07:30

system-agent

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Das Problem ist ganz einfach dass es Quatsch ist was da steht, denn mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kann man nicht rechnen wie mit reellen Zahlen, einfach deshalb, weil es keine reelle Zahl ist - es ist überhaupt keine Zahl !

Vielleicht gibst du ja preis wo der "Term" herkommt und wir sehen wo der Fehler liegt.

24.06.2009, 09:59

Jacques

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Hallo,

Ist $\begin{eqnarray*} \infty - 5 \end{eqnarray*}$ eigentlich kleiner als $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Aber im Ernst: Wenn Du schon dem Unendlichkeitssymbol rechnest, dann solltest Du es erst genau definieren (!) und dann exakt feststellen, welche Rechenregeln überhaupt möglich sind. Momentan rechnest Du damit – wie system-agent ja schon gesagt hat –, als wäre es eine reelle Zahl.

Du könntest $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ als die Mengen der entsprechenden divergenten Folgen definieren:

$\begin{eqnarray*} +\infty := \left\{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \, \left| \, a_n \in \mathbb{R} \textrm{ für alle } n \in \mathbb{N} \ \wedge\ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \right. \right\} \end{eqnarray*}$

(Das Unendlichkeitssymbol am Ende hat natürlich eine andere Bedeutung und hat nichts mit dem zu definierenden zu tun)

...

Und das „Rechnen mit der Unendlichkeit“ könnte man in dieser Art definieren:

$\begin{eqnarray*} +\infty + (+\infty) := +\infty \end{eqnarray*}$

...

Wie gesagt, ich würde die Symbole zuerst genau definieren. Und auf dieser Grundlage dann Rechenregeln formulieren. Aber nicht einfach drauflosrechnen, denn Deine Umformungen ergeben selbst mit der obigen Definition einfach keinen Sinn.

Der Ausgangsterm ergibt nach den Rechenregeln -unendlich:

$\begin{eqnarray*} (+\infty - 5) \cdot \frac{30 + (- \infty)}{0{,}3} = +\infty \cdot (-\infty) = -\infty \end{eqnarray*}$

25.06.2009, 01:16

Cliffhanger

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Zitat:

Original von Jacques

Der Ausgangsterm ergibt nach den Rechenregeln -unendlich:

$\begin{eqnarray*} (+\infty - 5) \cdot \frac{30 + (- \infty)}{0{,}3} = +\infty \cdot (-\infty) = -\infty \end{eqnarray*}$

hi! Genau darauf will ich ja hinaus!!!! Das von dir oben genannte ergebnis würde ich aus rausbekommen!

aber!!! Wenn ich die Klammer in einer Subtraktion aufsplitte kommt meiner ansicht nach nicht das gleiche raus!!! Dieses problem möchte ich lösen...

$\begin{eqnarray*} (\infty - 5 )* \frac{30-\infty}{0,3} \end{eqnarray*}$
ergebnis müsste
$\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ sein...theoretisch

was ich persönlich nicht verstehe....

ich könnte diese formel ja auch wie folgt anschreiben....
$\begin{eqnarray*} \infty * \frac{30-\infty}{0,3} - 5 * \frac{30-\infty}{0,3} \end{eqnarray*}$
aber für mein dafürhalten kommt in diesem fall
$\begin{eqnarray*} -\infty + \infty \end{eqnarray*}$ heraus... was ja nicht definiert ist...wo liegt da mein Denkfehler!?

25.06.2009, 01:45

Airblader

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Dein Denkfehler wurde erwähnt. Wo ist dein Problem? Du darfst so nicht rechnen, Punkt aus !

Nicht erst dein Ergebnis ist undefiniert. Der ganze Kram ist von vornherein undefiniert, weil Unendlich nunmal keine reelle Zahl darstellt !

Wenn du "unendlich" definieren willst, so musst du auch entspr. Rechenregeln definieren. Aber dann definiere bitte auch das Distributivgesetz, das du hier anwendest!
Im Übrigen kann der Typus (!!) "-oo + oo" sehr wohl "-oo" darstellen, allerdings sehr wohl auch alles andere. Ob es also "falsch" ist kann man mit einer so stupiden Rechnung gar nicht sagen.

air

25.06.2009, 10:40

Jacques

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Hallo Cliffhanger,

Vielleicht noch als Ergänzung:

Wenn Du Dir unsicher bist, wie diese Kurzschreibweise mit den Unendlichkeitssymbolen funktioniert, wie man was definieren muss und wo die Grenzen liegen, würde ich die Schreibweise einfach nicht benutzen.

Du gehst immer noch – wie ja schon mehrmals gesagt – von den Rechenregeln für reelle Zahlen (!) aus, aber das ist vollkommen falsch. Du musst vielmehr jede Situation, die auftreten kann, einzeln durchgehen und entweder eine passende Rechenregel formulieren oder aber den ganzen Ausdruck undefiniert lassen:

Also $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ war die Menge aller bestimmt divergenten Folgen, die über alle Grenzen wachsen. $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ die Menge aller bestimmt divergenten Folgen, die unter alle Grenzen fallen. Und die Rechenregeln beziehen sich auf das Verhalten der entsprechenden Summen-, Differenzen-, Produktfolgen u. s. w.

Z. B. steht dann

$\begin{eqnarray*} +\infty + c \qquad c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

für das Verhalten einer Folge vom Typ $\begin{eqnarray*} (a_n + c)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , wobei (a_n) bestimmt divergiert und über alle Grenzen wächst.

Man kann festlegen:

$\begin{eqnarray*} +\infty + c := +\infty \qquad c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit einer reellen Zahl:

$\begin{eqnarray*} +\infty \cdot c := \begin{cases}+\infty, & \textrm{falls } c > 0 \\0, & \textrm{falls } c = 0\\ -\infty, & \textrm{falls } c < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

u. s. w.

Wie gesagt: Du kannst nicht einfach die reellen Rechenregeln übernehmen, sondern musst neue Regeln speziell für diese Schreibweise aufstellen. Wenn Dir das zu aufwendig oder kompliziert ist, dann benutze die Unendlichkeitssymbole einfach nicht. Denn die Verwirrung scheint ja doch größer als der Nutzen zu sein – welchen Vorteil hat die Schreibweise dann?

25.06.2009, 12:16

Airblader

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@Jacques

In der Regel lässt man die Multiplikation mit Null aber undefiniert, denn die zu definieren macht auch als "Erweiterung" keinen Sinn - man denke an l'Hospital !

air

25.06.2009, 12:47

Jacques

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OK, wenn man

$\begin{eqnarray*} +\infty \cdot 0 \end{eqnarray*}$

als Verhalten des Produkts einer Nullfolge und einer bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ divergierenden Folge sieht, hast Du Recht. Aber ich meinte es wie bei den Summen im Sinne von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \cdot 0 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \end{eqnarray*}$

Also 0 steht tatsächlich für 0, nicht die Menge aller Nullfolgen.

Hm, aber ich sehe schon, das wird am Ende wahrscheinlicher komplizierter als die normale Anwendung der Grenzwertregeln. unglücklich

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