Einige Kegelschnitte

24.06.2009, 10:02

~Mg~

Einige Kegelschnitte

Hallo,

da ich nächste Woche eine wichtige Mathematikprüfung schreibe brauche ich eure Hilfe.

Deshalb würde ich euch bitten mir bei folgenden Beispielen zu helfen, da ich diese auch nach mehrmaligem Probieren nicht lösen konnte und daran verzweifle traurig

:

1) Gegeben sind die Hyperbel hyp in erste Hauptlage und die Gerade g. (1) Ermittle die Gleichungen der zu g parallelen Tangenten t1 und t2 der Hyperbel! (2) Berechne die Koordinaten der Berührpunkte dieser Tangenten!
hyp: x^2 - 25y^2 = 25; g: y= sqrt(2) * x

2) Berechne die Schnittwinkel der Parabel par mit dem Kreis k!
par: y^2 = 2px; k[(0|0);sqrt(8) * p]

3) Berechne den Schnittwinkel zwischen der Parabel und der Hyperbel in jeweils erste Hauptlage!
par: p = 9; hyp: a^2 = 1, b^2 = 12

4) Berechne den Schnittwinkel zwischen der Parabel und der gegebenen Kurve!
(1) par: y^2 = 16x/3; k: x^2 + y^2 = 25
(2) par: y^2 = 16x; par: x^2 = 2y

5) Bestimme die gemeinsamen Tangenten an die beiden gegeben Kurven!
(1) 4x^2 + 3y^2 = 12; 4x^2 - 3y^2 = 24
(2) x^2 + 2y^2 = 8; y^2 = 8x

6) Dem einen "Ast" der Hyperbel hyp: x^2 - 3y^2 = 1 ist ein gleichschenkeliges Dreieck (c = 8),P (x|4) derart einzuschreiben, dass die Dreiecksspitze im Hauptscheitel liegt und die Basis c parallel zur y-Achse verläuft. Man berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfe!

Mit freundlichen Grüßen, Markus

24.06.2009, 17:48

Zellerli

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Erstmal

an Board, ~Mg~ !

~Mg~:

Zitat:

da ich diese auch nach mehrmaligem Probieren nicht lösen konnte und daran verzweifle

Was hast du denn bereits probiert?
Ohne eigene Ansätze werden sich nur schwer Helfer finden, weil keiner weiß wo er ansetzen soll und keine Komplettlösungen abgegeben werden (vgl. Boardprinzip).

24.06.2009, 19:07

~Mg~

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Bei 1) wollte ich die Hyperbel mit der Gerade schneiden, jedoch gelang mir das aufgrund der Wurzel nicht.

Bei 2) weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich anfangen soll. Vor allem die Angabe des Kreises mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} * p \end{eqnarray*}$ verwirrt mich.

3) habe ich mittlerweile geschafft, indem ich die Par mit der Hyp geschnitten, die Tangenten ausgerechnet, und danach mit Cosinus den Schnittwinkel ausgerechnet habe :-)

Bei 4) (1) habe ich es wie bei 3) versucht, jedoch wusste ich nicht wie man die Tangente des Kreises berechnet.
(2) ist wieder so ein Beispiel das ich überhaupt nicht verstehe :-(

Bei 5) (1) und (2) habe ich es mit der Berührbedingung versucht. Es kam jedoch leider das falsche Ergebnis heraus.

Und bei 6) bin ich total überfragt ...

LG, Markus

PS: Hier sind die Lösungen der Beispiele:

1) $\begin{eqnarray*} t1: y=\sqrt{2}x+7 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t2: y= \sqrt{2}x-7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T1: (-25\sqrt{2}/7|-1/7) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} T2: (25\sqrt{2}/7|1/7) \end{eqnarray*}$

2) 71,565°

4) (1) 70,560° (2) 30,964°, 90°

5) (1) $\begin{eqnarray*} t: 2x\pm y=\pm4 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} t: x\pm\sqrt{2}y=\pm4 \end{eqnarray*}$

6) A=24 FE

24.06.2009, 19:19

riwe

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sezte den ausdruck unter der wurzel D = 0, da du eine tangente suchst smile

die lösung zu 5.2. stimmt Augenzwinkern

24.06.2009, 20:25

~Mg~

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Zitat:

Original von riwe
sezte den ausdruck unter der wurzel D = 0, da du eine tangente suchst smile

Bei Beispiel 1? Was meinst du mit D?

Kannst du (oder jemand anders) mir vllt. mal den ersten Rechenschritt (am besten von allen fünf Beispielen smile

) aufschreiben?

Vielleicht bekomm ich dadurch einen Geistesblitz Augenzwinkern

Danke im Voraus!

LG, Markus

PS: Die Lösungen stimmen ALLE. Die habe ich vom Lösungsheft abgeschrieben um es euch leichter zu machen Augenzwinkern

24.06.2009, 22:18

riwe

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zu aufgabe 1:
$\begin{eqnarray*} y=mx+n\to y=\sqrt{2}\cdot x+n \end{eqnarray*}$

in die hyperbelgleichung einsetzen, ausmultiplizieren und lösen der quadratischen gleichung in x führt auf den ausdruck unter der wurzel

$\begin{eqnarray*} D=50n^2-49(n^2+1) \end{eqnarray*}$

für diesen ausdruck muß gelten $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ , da man sonst 2 schnittpunkte hat,
also keine tangente vorliegt.

nun kannst du (hoffentlich) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ berechnen smile

25.06.2009, 11:09

~Mg~

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Ich kapier es nicht Hammer

Stimmt das mit dem Einsetzen so:

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 25 * (\sqrt{2} * x + n) = 25 \end{eqnarray*}$

Wenn ja, weiß ich nicht wie ich weiterrechnen soll traurig

25.06.2009, 11:44

riwe

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Zitat:

Original von ~Mg~
Ich kapier es nicht Hammer

Stimmt das mit dem Einsetzen so:

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 25 * (\sqrt{2} * x + n) = 25 \end{eqnarray*}$

Wenn ja, weiß ich nicht wie ich weiterrechnen soll traurig

nein stimmt so nicht
so ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 25 * (\sqrt{2} * x + n)^2 = 25 \end{eqnarray*}$

QUADRAT Augenzwinkern

und jetzt bist wieder du dran mit dem quadrieren und zusammenfassen smile

25.06.2009, 12:10

~Mg~

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$\begin{eqnarray*} x^{2} - 25 * (\sqrt{2} * x + n)^2 = 25<br /> x^{2} - 25 * (2x^{2} + n) = 25<br /> x^{2} - 50x^{2} -25n = 25<br /> x^{2} - 50x^{2} -25n - 25 = 0<br /> -49x^{2} -25n - 25 = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmts bis jetzt?

LG

25.06.2009, 12:17

riwe

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Zitat:

Original von ~Mg~
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 25 * (\sqrt{2} * x + n)^2 = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 25 * (2x^{2} + n) = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 50x^{2} -25n = 25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 50x^{2} -25n - 25 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -49x^{2} -25n - 25 = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmts bis jetzt?

LG

das ist müll böse

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\neq a^2+b \end{eqnarray*}$

25.06.2009, 19:02

~Mg~

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Was kommt dann bei $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} * x + n)^2 \end{eqnarray*}$ raus?

Muss ich dann $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mal zwei rechnen?

Sry, dass ich so ein Matheschwächling bin Augenzwinkern

28.06.2009, 14:39

mYthos

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Ja, nach der o.a. binomischen Formel ->

$\begin{eqnarray*} \ldots = 2x^2 + 2 \sqrt 2 \ xn + n^2 \end{eqnarray*}$

mY+

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