Flughafen-Problem |
| 06.06.2004, 16:26 | Christina-Johanne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Flughafen-Problem Stellen Sie sich vor, dass ein Flughafen geplant ist, der von drei Städten aus gut erreichbar sein soll. Die Politiker verlangen möglichst wenig Geld für die neuen Straßen auszugeben. Die Summe der Entfernungen von den Flughäfen bis zu den Städten soll minimal sein. Wo muss der Flughafen positioniert werden? Begründen Sie ihre Antwort! Nach einigen Überlegungen haben wir herausgefunden, dass F ein Punkt ist, den man mit AB und C verbinden muss. Diese entstandenen Dreiecke haben bei F die Eigenschaft einen Winkel von 120 Grad zu haben. Die Konstruktion ist also klar. Aber wie kann ich das begründen??? Danke schon mal für Eure Mühe! Christina-Johanne |
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| 06.06.2004, 16:36 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde das so machen, indem ich die Seitenhalbierenden nehme und den Schnittpunkte von ihnen bestimme. Damit haben alle Punkte den gleichen Abstand vom Flughafen. |
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| 06.06.2004, 16:41 | Marco_the_Chief | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stimmt nicht, Du müsstest die Mittelsenkrechten schneiden lassen edit: die seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt aber welches von beiden ist nun sinnvoller *grübel* |
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| 06.06.2004, 16:43 | schwerpunkt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist mir neu!Iich dachte immer , das sei der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. |
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| 06.06.2004, 17:28 | Christina-Johanne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht nicht darum, dass alle Punkte den GLEICHEN Abstand haben. Der Flughafen F soll auf dem Punkt liegen, deren Strecken AF BF und CF addiert den geringsten Abstand haben. Und das ist dann gegeben, wenn die Dreiecke ABF BCF und CAF bei F einen 120 Grad Winkel haben. Das weiß ich. Aber wie Beweise ich das? |
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| 06.06.2004, 20:41 | Wheasley | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf die 120° sind wir auch schon gekommen - aber von Beweis auch keine Spur. *heul* 
Es geht weder mit den Winkelhalbierenden, noch mit den Mittelsenkrechten, noch mit den Höhen... Wenn man in Cabri hin und herschiebt, liegt der Punkt (leider nicht bei allen Dreiecken) auf einer der Winkelhalbierenden. Da wir aber den allgemeinen Fall beweisen sollen, hilft uns das auch nicht. Hat einer von Euch eine Idee? Wheasley |
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| 06.06.2004, 20:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da gibt's einen alten Herrn, der heißt Fermat. Manchmal nennt man ihm zuliebe gewisse Punkte auch F. Vielleicht googlet ihr ein bißchen unter Fermat-Punkt. |
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| 06.06.2004, 22:32 | Christina-Johanne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke
Danke für die Hilfe
Es gibt so viele Seite dazu. Das einzige was ich von Fermat sonst weiß, er behauptet hat was bewiesen zu haben, hat es aber nie 
Gegeben ist ein Dreieck ABC, bei dem kein Winkel größer als 120° ist. Gesucht ist der Punkt P, für den die Abstandssumme zu den Eckpunkten minimal ist. Im Folgenden wird nur der Fall betrachtet, dass alle Winkel des Dreiecks kleiner als 120° sind. Die Beweisdurchführung ist kürzer als im 1. Beweis; sie beruht auf der Grundidee, dass von allen Streckenzügen mit gleichen Endpunkten die gerade Linie die kürzeste Verbindung ist und benutzt durch Drehung entstandene kongruente Dreiecke. Durch die Drehung werden die Abstände von P zu den Dreiecksecken zu einem Streckenzug zusammengefügt. Die Summe der Entfernungen von P zu den Eckpunkten des Dreiecks ist genau dann minimal, wenn der durch Kongruenzabbildungen hergestellte Streckenzug auf einer Geraden liegt. Voraussetzung: 1. P sei ein beliebiger Punkt im Inneren des Dreiecks ABC. 2. D liegt außerhalb von ABC und ADC ist gleichseitig, es gilt also == und CAD = DCA = ADC = 60°. Behauptung: Wenn P der Punkt mit der minimalen Abstandssumme ist, dann liegt P auf und es gilt: . Beweis: 1. Wähle P im Inneren des Dreiecks und drehe APC um A um 60° (Abbildung 15), wobei C auf D abgebildet wird. Der Bildpunkt zu P sei P' und . 2. APP' ist gleichseitig, da PAP' = 60° und wegen der durchgeführten Drehung . 3. Für die Summe der Länge der Strecken gilt: = (nach 1. und 2.) = (nach 2.) = (= trifft genau dann zu, wenn P und P' auf liegen.) Die Summe ist minimal, wenn B,P,P' und D auf einer Geraden liegen und es folgt , wobei nur dies die kürzeste Verbindung ist. Umgekehrt gilt: Wenn P und P' auf liegen, dann müssen die Winkel, die zwischen den Stecken und entstehen, stets 120° sein, was hier nun noch bewiesen wird: Voraussetzung: Zeichnung und Konstruktion von P' wie oben (vgl. Abbildung 15). Die Punkte P, P', B, D liegen auf einer Geraden: Behauptung: CPA = APB = BPC = 120° Beweis: 1. APP' ist gleichseitig (vgl. Punkt 2 im obigen Beweis) und P'PA = 60°. Also gilt: APB = 180° - P'PA =180° - 60° = 120° . 2. CPA = DP'A ( Punkt 1 Beweis oben) Also gilt: CPA = DP'A =180° - AP'P= 180° - 60° = 120° 3. Es folgt: BPC = 360° - 120° - 120° = 120° qed. |
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