Berührpunkt zweier Funktionsgraphen

18.09.2006, 22:36

f(x)

Berührpunkt zweier Funktionsgraphen

Hallo!

Meine Mathelehrerin meinte, dass zwei Funktionsgraphen (f,g), für die an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
1. f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )=g( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )
und
2. f'( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )=g'( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )
gilt,
einen Berührpunkt (aber keinen Schnittpunkt!!) in P( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ / f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )) haben.

Ich glaube das aber nicht, weil ja für die Funktionen f=0 und g=x^3 der Punkt P(0/0) zwar beide Kriterien erfüllt, aber in Wirklichkeit ein Schnittpunkt ist.

Kann man die Kriterien irgendwie leicht verändern, so dass wirklich kein Schnittpunkt, aber alle Berührpunkte diese Kriterien erfüllen?

Danke

18.09.2006, 22:55

mYthos

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Hi!

Du kannst es doch glauben, denn auch im Falle $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = x^3 \end{eqnarray*}$ findet (gleichsam) eine Berührung statt, denn der Punkt (0;0) ist ein Wendepunkt, mit der x-Achse als Wendetangente. Die Tangente "durchsetzt" in diesem Falle die Kurve, schneidet sie aber nicht.

Gr
mYthos

18.09.2006, 23:12

sqrt(2)

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RE: Berührpunkt zweier Funktionsgraphen

Zitat:

Original von f(x)
Meine Mathelehrerin meinte, dass zwei Funktionsgraphen (f,g), für die an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
1. f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )=g( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )
und
2. f'( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )=g'( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )
gilt,
einen Berührpunkt (aber keinen Schnittpunkt!!) in P( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ / f( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ )) haben.

Sie hat Unrecht, aber sozusagen pädagogisch Recht, weil eine echte hinreichende Bedingung komplizierter ist.

Zitat:

Original von f(x)
Ich glaube das aber nicht, weil ja für die Funktionen f=0 und g=x^3 der Punkt P(0/0) zwar beide Kriterien erfüllt, aber in Wirklichkeit ein Schnittpunkt ist.

Das ist richtig.

Zitat:

Original von f(x)
Kann man die Kriterien irgendwie leicht verändern, so dass wirklich kein Schnittpunkt, aber alle Berührpunkte diese Kriterien erfüllen?

Jetzt so aus dem Stand: Man leite beide Funktionen so lange ab, bis $\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x_0)\neq g^{(k)}(x_0) \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade, handelt es sich um einen Berührpunkt.

18.09.2006, 23:28

mYthos

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sqrt(2) hat in geometrischer Hinsicht völlig Recht, auch das mit der Ableitung gerader Ordnung ist richtig (das läuft analog ab bei der Klärung der Frage, ob ein Sattel- bzw. Terrassenpunkt oder ein relatives Extremum vorliegt)

IMHO stimmt jedoch - in analytischer Hinsicht - auch die Aussage der Lehrerin.

In dem Moment, wo im "Schnittpunkt" eine gemeinsame Tangente existiert, findet eine Berührung statt, ungeachtet, ob es eine normale oder eine Wendetangente ist. Der "Schnittpunkt" übernimmt dann die Rolle eines (Quasi-) Berührungspunktes.

mY+

18.09.2006, 23:36

sqrt(2)

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Zitat:

Original von mYthos
In dem Moment, wo im "Schnittpunkt" eine gemeinsame Tangente existiert, findet eine Berührung statt, ungeachtet, ob es eine normale oder eine Wendetangente ist. Der "Schnittpunkt" übernimmt dann die Rolle eines (Quasi-) Berührungspunktes.

Zumal ich noch nirgends eine Definition von "Schnittpunkt" gesehen habe, die man allgemein akzeptiert nennen könnte, würde ich die intuitive Definition vorziehen, nämlich, dass ein Funktionsgraph bezüglich des anderen "die Seite wechselt", oder anders ausgedrückt ein Vorzeichenwechsel von $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stattfindet.

Ich glaube nicht, dass es viel bringt, wenn wir uns hier um Definitionen streiten, aber so lange die Lehrerin vor ihren Schülern nicht genau sagt, was sie unter einem Schnittpunkt versteht, würde ich die Aussagen der Lehrerin äußerst kritisch sehen, denn die geometrische Defintion von "Schnittpunkt" ist eindeutig die intuitivere.

18.09.2006, 23:36

Mazze

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Per Definition (vom Wikipedia):

Ein Schnittpunkt ist in der Mathematik ein gemeinsamer Punkt zweier Kurven. Haben beide Kurven in ihrem gemeinsamen Punkt die gleiche Tangentensteigung, so spricht man von Berührungspunkt.

Das liegt hier eindeutig vor. Aus analytischer Sicht ist hier also wirklich ein Berührpunk in der Stelle (0,0).

Zitat:

aber so lange die Lehrerin vor ihren Schülern nicht genau sagt, was sie unter einem Schnittpunkt versteht,

Was ich nur unterschreiben würde Augenzwinkern

18.09.2006, 23:49

sqrt(2)

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Demnach ist ein Berührungspunkt also auch ein Schnittpunkt... Wenn man diese Terminologie zu Grunde legt, habe ich Unrecht.

Ich hoffe, mein Einwand war für f(x) wenigstens lehrreich.

18.09.2006, 23:53

Mazze

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Eine einheitliche Definition für Schnittpunkt gibts wohl nicht ? Wikipediaeinträge sind ja auch nicht zwingend als Referenz zu gebrauchen (kann ja jeder schreiben was er will).

19.09.2006, 00:01

sqrt(2)

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Schon, aber die Versionshistorie weist nicht darauf hin, dass man daran zweifeln müsste. Wie in Wikipedia ergibt die Definition ja auch insofern Sinn, dass man immer von einem Schnittpunkt sprechen möchte, wenn die Funktionswerte an einer Stelle gleich sind, dann kann man auch eine einfache Definition für Berührpunkt verwenden.

Für Extrempunkte verhält es sich eben etwas anders, weil die in Anwendungsfällen (Extremwertuntersuchungen) nur als Hoch- oder Tiefpunkte wirklich Relevanz haben, da braucht man eben eine kompliziertere Definition.

19.09.2006, 21:17

f(x)

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Danke für die Antworten.
Meine Frage ist beantwortet!

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