Stetigkeit einer Funktion

24.06.2009, 16:08

Schl3imer

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Stetigkeit einer Funktion

Hallo lieber Matheboardler,

ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}} \end{eqnarray*}$

Ich untersuche also die Stellen von x=1 und x= -1.

Für x=1 habe ich nach der Regel von La Hospital (0/0) den links und rechtsseitigen Grenzwert von 0,5 ermittelt. Müsste stimmen oder? also stetig?

Bei x = -1 habe ich jedoch Probleme den Grenzwert zu bestimmen. Mit La Hospital gibt es dort nichts zu gewinnen und bei einer Erweiterung mit 1/x komme ich auch zu keinem Ergebnis.

Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar!

MfG

Schl3imer

24.06.2009, 16:12

tmo

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Schl3imer
ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}} \end{eqnarray*}$

Ich untersuche also die Stellen von x=1 und x= -1.

Das macht keinen Sinn, da f dort nicht definiert ist.

Viel mehr findest du damit heraus, ob f dort stetig fortsetzbar ist. Das ist ein großer unterschied.

24.06.2009, 16:23

Valdas Ivanauskas

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Schl3imer
Hallo lieber Matheboardler,

ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit untersuchen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}} \end{eqnarray*}$

Ich untersuche also die Stellen von x=1 und x= -1.

Für x=1 habe ich nach der Regel von La Hospital (0/0) den links und rechtsseitigen Grenzwert von 0,5 ermittelt. Müsste stimmen oder? also stetig?

Bei x = -1 habe ich jedoch Probleme den Grenzwert zu bestimmen. Mit La Hospital gibt es dort nichts zu gewinnen und bei einer Erweiterung mit 1/x komme ich auch zu keinem Ergebnis.

Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar!

MfG

Schl3imer

L'Hospital hat hier nichts verloren.

Betrachte:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}}=\sqrt{\frac{x}{2(x+1)}} \end{eqnarray*}$

An der Stelle x=1 gibt's nichts mehr zu tun und für x gegen -1 geht der Radikand offensichtlich gegen + oder - unendlich, je nachdem ob links- oder rechtsseitiger lim betrachtet werden.

24.06.2009, 17:10

Schl3imer

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Hmm ich hatte schon so ne Vermutung, dass mit x=1 was net passt.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}}=\sqrt{\frac{x}{2(x+1)}} \end{eqnarray*}$

Kann ich net nachvollziehen...

24.06.2009, 17:21

Musti

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Zitat:

Original von Schl3imer
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}}=\sqrt{\frac{x}{2(x+1)}} \end{eqnarray*}$

Kann ich net nachvollziehen...

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{x^2 -x}{2x^2 -2}}=\sqrt{\frac{x(x-1)}{2(x+1)(x-1)}}=\sqrt{\frac{x}{2(x+1)}} \end{eqnarray*}$

24.06.2009, 17:22

eierkopf1

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 -x}{2x^2 -2}= \frac{x(x -1)}{2(x^2 -1)} = \frac{x(x -1)}{2(x-1)(x+1)} = \frac{x}{2(x+1)} \end{eqnarray*}$

EDIT: Zu langsam! smile

smile

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24.06.2009, 17:28

eierkopf1

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Sehe den Beitrag von tmo nochmal durch.

Wie lautet die genaue Angabe?

24.06.2009, 17:29

Schl3imer

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Achja klar ^^. Leider nicht eine meiner Stärken! Wie würde ich denn nu genau vorgehen bei dem Fall - 1? Ich versuchs grad eben nochmal by myself Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.06.2009, 18:18

system-agent

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Schl3imer
ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit untersuchen:

Die Frage nach der Stetigkeit ist nur an solchen Stellen sinnvoll, an denen die Funktion auch definiert ist!
Deine Funktion ist für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ aber nicht definiert, also ist diese Frage ohne Belang.
Zuerst würde ich dir raten mal den maximalen Definitionsbereich aufzuschreiben und dich dann zu fragen ob es stetig ist an den Stellen im Definitionsbereich [Hinweis: Komposition stetiger Funktionen].

Man könnte fragen ob die Funktion stetig nach zb. $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ fortgesetzt werden kann und dann kannst du deine Überlegungen anstellen [Grenzwerte von beiden Seiten berechnen etc etc].

24.06.2009, 19:04

Schl3imer

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Mh ich weiss net ob ich total schief gewickelt bin aber gerade weil die Funktion doch für 1 bzw. -1 nicht definiert ist mache ich doch diese links und rechtsseitige Grenzwertbetrachtung oder? Vielleicht habe ich die Aufgabenstellung auch nicht ganz korrekt wiedergegeben. Ich soll eventuelle Unstetigkeitsstellen untersuchen und die Art der Unstetigkeit angeben..

Wenn ich nur bei x = 1 auf den links und rechtsseitigen Grenzwert 0,5 komme. Was heisst das für mich ? (wenn denn 0,5 überhaupt korrekt ist). Dann muss es doch eine Definitionslücke sein.

Bei x = -1 komme ich mit der Grenzwertbetrachtung nach wie vor net wirklich zum Ziel.

24.06.2009, 20:06

system-agent

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Zitat:

Original von Schl3imer
Ich soll eventuelle Unstetigkeitsstellen untersuchen und die Art der Unstetigkeit angeben..

Wie hier schon öfters angetönt:
Stetigkeit kann man nur überprüfen wo eine Funktion definiert ist. Erinnere dich an die Definition der Stetigkeit:
Sei $\begin{eqnarray*} f: D\subset\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst stetig in $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn usw usw.
Beachte hier: Stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und diese Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wird gefordert, dass sie im Definitionsbereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt.

Aber wie schon gesagt, 1 und -1 liegen eben nicht im Definitionsbereich, also kann man (per definitionem) nicht nach der Stetigkeit fragen.

Aber du hast immernoch nicht den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ angegeben und entschieden ob deine Funktion auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ stetig ist oder nicht.

24.06.2009, 20:52

Schl3imer

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Meines Erachtens nach ist die Funktion stetig auf $\begin{eqnarray*} D = R / (1, -1). \end{eqnarray*}$ .

Soll ich mich nicht eben diesen Definitionlücken mittels Grenzwertbetrachtung annähern?

24.06.2009, 21:36

eierkopf1

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Du meinst wahrscheinlich:

Zitat:

Original von Schl3imer
Meines Erachtens nach ist die Funktion stetig auf $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \backslash \{1, -1\}. \end{eqnarray*}$ .

Und warum?

Zu den Stellen $\begin{eqnarray*} x_0=\pm 1 \end{eqnarray*}$ hat dir tmo und system-agent schon alles gesagt.
Nochmal: Wie lautet die genau Angabe?

25.06.2009, 09:27

Schl3imer

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Sooo. Guten morgen erstmal.
Ja genau

$\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \backslash \{1, -1\}. \end{eqnarray*}$ .

die Schreibweise habe ich gesucht Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Ist schon etwas her ^^. Nun die Begründung warum sie stetig ist fällt mir jetzt gar nicht so leicht in Worte zu fassen..

Für jedes $\begin{eqnarray*} x_{0} \in D \end{eqnarray*}$ erfolgt eine Abbildung auf $\begin{eqnarray*} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Könnte man das so beantworten?

Das mir zu x= 1 und x= -1 schon alles gesagt wurde empfinde ich persönlich nicht so (Asche auf mein Haupt Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Das kann nicht das gewesen sein, was meine Professoren von mir erwartet bei dieser Übungsklausuraufgabe... sorry für meine Beschhränktheit ^^

25.06.2009, 10:19

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Schl3imer
Sooo. Guten morgen erstmal.
Ja genau

$\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \backslash \{1, -1\}. \end{eqnarray*}$ .

Nein! Was wäre denn zum Beispiel f(-0.5)?

Oh weh, so viele Worte wegen einer solchen Kleinigkeit.

Wenn Dir die Wurzel nicht behagt, dann beschränke Dich erst einmal auf den Radikanden und untersuche wann dieser negativ wird.

25.06.2009, 11:06

Schl3imer

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Oh man
Der Radikand wird für alle 0 > x > -1 negativ.

25.06.2009, 11:23

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Schl3imer

Der Radikand wird für alle 0 > x > -1 negativ.

Genau! Und zudem ist er für x=-1 nicht definiert.

Also: $\begin{eqnarray*} D:=\{x\in\mathbb R:~x<-1 \vee (x\geq 0 \wedge x\neq 1)\} \end{eqnarray*}$

Nur zur Verdeutlichung nochmal:

Bevor Du Dir über die Stetigkeit einer Funktion Gedanken machst solltest Du den Definitionsbereich bestimmen.
Sollte es Definitionslücken (wie hier z.B. bei 1) geben, dann kannst Du untersuchen ob sich die Funktion dort "stetig fortsetzen" lässt. Dazu kannst Du u. a. den links und rechtsseitigen Grenzwert betrachten (oder wie hier einfach umformen).

Warum nun lässt sich f an der Stelle -1 nicht stetig fortsetzen?

25.06.2009, 11:34

Schl3imer

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Okay. Das hat mich jetzt schon um einiges weiter gebracht. Zu deiner Frage..

Die Funktion ist um -1 nicht stetig fortsetzbar, da sie ja rechtsseitig von -1 nicht definiert ist oder?

25.06.2009, 11:47

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Schl3imer
Die Funktion ist um -1 nicht stetig fortsetzbar, da sie ja rechtsseitig von -1 nicht definiert ist oder?

Das ist nicht das Entscheidende.

Wesentlich ist dabei: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow -1}f(x)=\infty \end{eqnarray*}$

25.06.2009, 11:55

Schl3imer

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Könntest du mir das noch etwas erläutern. Dann bin ich zufrieden gestellt denke ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.06.2009, 12:42

eierkopf1

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Damit sie stetig ergänzbar ist, muss der links- und rechtsseite Grenzwert übereinstimmen. Bestimme mal diese.

25.06.2009, 14:15

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Schl3imer
Könntest du mir das noch etwas erläutern. Dann bin ich zufrieden gestellt denke ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dir ist schon klar, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac 1x =\infty~? \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann kannst Du das Ganze darauf zurückführen, wenn Du betrachtest:

$\begin{eqnarray*} \frac {x}{2(x+1)}=\frac 12 \left( 1- \frac{1}{x+1} \right). \end{eqnarray*}$

Du kannst natürlich auch so vergehen:

Sei $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Wähle $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} -\left(1+\frac{1}{2K^2-1}\right) < x_0 < -1. \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} - \left( 1+ \frac{1}{2K^2-1}\right) < x_0 \Rightarrow \ldots \Rightarrow \sqrt{ \frac{x_0}{2(x_0+1)}} >K. \end{eqnarray*}$

D.h. zu beliebig großem K findet man immer noch ein x<-1, so dass f(x)>K.

Demnach wächst f für x gegen -1 über alle Schranken.

25.06.2009, 17:48

Schl3imer

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Hey nochmal. Ok das kann ich soweit nachvollziehen. Werde mir das nochmal reinziehen und falls noch Unklarheiten auftreten meld ich mich nochmal. Danke!

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