Fixpunkte, Fixgerade einer affinen Abbildung

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britta123 Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkte, Fixgerade einer affinen Abbildung
Hallo! Hier mal etwas leichteres, aber ich bin mir immernoch nicht sicher, ob meine Lösung so stimmt.
Also, die Aufgabe:
"Untersuchen Sie die durch folgende Gleichungen gegbene Affinität auf Fixpunkte bzw. auf Fixgeraden:
x'=2x+y-8
y'=-3x-y+14"

So. Daraus ergibt sich ja die Abbildung f
für

Um Fixpunkte zu finden, muss man dann das Gleichungssystem aufstellen, sodass f(w)=w, wobei w der Fixpunkt ist.
Das Gleichungssystem hat jedoch keine Lösung,also gibt es auch keine Fixpunkte.
Existiert dann trotzdem eine oder mehrere Fixgeraden? Nein,oder?
britta123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkte, Fixgerade einer affinen Abbildung
ok. zur Fixgeraden noch. Wenn man de Eigenvektoren der Abbildungsmatrix berechnet, könnte man ja eine Fixgerade aufstellen,doch dazu fehlt der Ortsvektor,der doch eigentlich der Fixpunkt sein müsste,oder? ahhrg...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkte, Fixgerade einer affinen Abbildung
Zunächst mal kann eine Abbildung durchaus eine Fixgerade haben, ohne einen Fixpunkt zu haben. Stell dir in der Ebene eine Spiegelung an einer Geraden vor mit einer anschließenden Verschiebung in Richtung der Geraden. Dann geht die Gerade als Ganzes in sich über, aber es gibt keinen Fixpunkt.

Deine Abbildung hat allerdings einen Fixpunkt (also noch mal die Rechnung prüfen) und zwei Fixgeraden.
britta123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkte, Fixgerade einer affinen Abbildung
um das gleichungssystem dex fixpunktes v(a,b) zu lösen, muss man doch rechnen


also
a=2a+b-8 --> b=-a+8
b=-3a-2b+14 --> -a+8=-3a-2(-a+8)+14=-3a+2a-16+14 =-a-2

oder ist der ansatz f(v)=v falsch?

und wie ermittle ich dann die fixgerade bzw. den aufhängepunkt,wenn ich die passenden vektoren schon gefunden hab (sprich die eigenvektoren von A bei f(x=A*x+b))
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkte, Fixgerade einer affinen Abbildung
Du hast die zweite Gleichung der affinen Abbildung unterschiedlich angegeben. Oben schreibst du:



In der Matrixschreibweise steht da:



Je nachdem, was richtig ist, gibt es einen Fixpunkt oder nicht. Dein Ansatz zur Bestimmung eines eventuellen Fixpunktes ist korrekt.


Um eine Fixgerade zu finden, kann man folgendes machen:
Setze eine Gerade an. Ermittle mittels der Abbildungsgleichungen die Bildgerade . Wenn es eine Fixgerade gibt, muss erfüllbar sein.

Eine eventuell senkrecht liegende Fixgerade muss separat geprüft werden.
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