Abzählbarkeit, Jordan-messbar

24.06.2009, 20:43

Max Simon

Abzählbarkeit, Jordan-messbar

Hallo, da bin ich schon wieder.

Diesmal mit einer besonders schweren Aufgabe, finde ich.
Hier ist sie:

Sei $\begin{eqnarray*} \left\{ r_k; k \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ eine Abzählung von $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} (\alpha_k) \end{eqnarray*}$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} \alpha :=\sum_{k=1}^\infty ~\alpha_k \end{eqnarray*}$ , und sei $\begin{eqnarray*} U:=\bigcup_{k=1}^\infty~(r_k-\alpha_k,r_k+\alpha_k) \end{eqnarray*}$

Beweise:

a) $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist nicht abzählbar.
(Hinweis: Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ annehmen und Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ verwenden.)
c) $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist nicht Jordan-messbar.
(Hinweis: Beweise: $\begin{eqnarray*} \int_{-}~\mathbb I_U \leq 2\alpha \end{eqnarray*}$ (Unterintegral der Indikatorfunktion). Zeige dazu in einem ersten Schritt: Sind $\begin{eqnarray*} I_1,I_2,...,I_m \subset U \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkte, abgeschlossene Intervalle, so gilt $\begin{eqnarray*} \int~\sum_{j=1}^m \mathbb I _{I_j} < 2\alpha \end{eqnarray*}$ .)

OK.

Also zu a) Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (r_k-\alpha_k,r_k+\alpha_k) \end{eqnarray*}$ eine Offene Menge (einfach nur ein 1-dimensionales offenes Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ). Eine Vereinigung offener Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist wieder offen, also ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen. Ok?

b) Hier brauch ich eure Hilfe.
Wenn die Menge abzählbar wäre, dann kann man eine Folge in dieser Menge konstruieren. Nun muss diese Folge aber widersprüchliche Eigenschaften zur Kompaktheit haben. Somit könnte man also über Folgenkompaktheit ansetzen. Aber mir fällt keine Folge ein, welche keine konvergente Teilfolge in der Menge hat.
Der andere Ansatz wäre vielleicht über eine vollständige Überdeckung zu wählen, zu der es keine endliche Teilüberdeckung gibt.
Mit beiden Ansätzen komme ich zu keinem Ergebnis.

c) Auch hier komme ich nicht wirklich voran.
Mein bisheriger Ansatz:

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nicht Jordanmessbar ist, muss man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb I _U \notin R(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , also nicht Riemann-integrierbar ist.
Das Oberintegral von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist 1. Wir müssen also zeigen, dass das Unterintegral ungleich 1 (vermutlich kleiner 1) ist (vgl. Hinweis).

Wir brauchen zunächst abgeschlossene Intervalle von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \beta_k \in (0,\alpha_k) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} B\left[r_k,\beta_k\right] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.
Weiterhin gilt $\begin{eqnarray*} \int~\sum_{j=1}^m \mathbb I _{I_j} = \sum_{j=1}^m \int~\mathbb I _{I_j} < 2\alpha \end{eqnarray*}$ .

Und nun dachte ich an Induktion.
Hat man also nur eine solche Kugel, dann ist
$\begin{eqnarray*} \int~\mathbb I _{\left[r_k-\beta_k,r_k+\beta_k\right] }= 2\beta_k < 2\alpha_k < 1 \end{eqnarray*}$ .
Der Induktionschritt wird dann sicherlich ähnlich verlaufen. Ich will ihn aber jetzt noch nicht posten, damit hier das Ausmaß erstmal nicht überstiegen wird.
Aber ist dieser Ansatz erstmal in Ordnung?

Ich hoffe, es findet sich jemand, der bereit ist, sich in die Aufgabe reinzudenken und mir zu helfen bzw. Hinweise zu geben.

Dankeschön.

LG Max

24.06.2009, 21:47

Mathespezialschüler

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Ich glaub, ich versteh die Aufgabe nicht.

Es gibt sicherlich eine Abzählung mit $\begin{eqnarray*} r_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Wähle dann z.B. $\begin{eqnarray*} \alpha_1=324 \end{eqnarray*}$ und die anderen $\begin{eqnarray*} \alpha_k \end{eqnarray*}$ so, dass die Bedingung der Konvergenz der Reihe erfüllt ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} [0,1]\setminus U \end{eqnarray*}$ leer, also insbesondere abzählbar.

Oder bedeutet Abzählbarkeit hier "abzählbar unendlich"?

24.06.2009, 23:28

Max Simon

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also abzählbar haeißt hier glaube ich abzählbar unendlich.
z.B. ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abzählbar.

Ich verstehe den Teil folgendermaßen. Weil $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, ist auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \cap \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ abzählbar.
Stellt man sich nun vor, dass alle rationalen Zahlen aus [0,1] durchnummeriert wären, dann enthält die Menge der $\begin{eqnarray*} r_k \end{eqnarray*}$ all diese Zahlen in beliebiger Reihenfolge. Natürlich sind dies unendlich viele Elemente.

Oh verdammt - ich hab einen wichtigen Fakt in der Aufgabe vergessen!

$\begin{eqnarray*} \alpha := \sum_{k=1}^\infty \alpha_k < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ohne diese Einschränkung wäre das tatsächlich sinnlos.

25.06.2009, 01:20

Mathespezialschüler

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Achso a) ist übrigens korrekt.

Zu b) folgende Idee: Angenommen, es wäre $\begin{eqnarray*} [0,1]\setminus U=\{x_k\ |\ k\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} \beta:=\frac{1}{2}-\alpha>0 \end{eqnarray*}$ . Wähle eine Folge positiver reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} \beta_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\beta_k=\beta \end{eqnarray*}$ (z.B. mtihilfe einer geometrischen Reihe). Betrachte dann noch die Intervalle $\begin{eqnarray*} (x_k-\beta_k,x_k+\beta_k) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \{(r_k-\alpha_k,r_k+\alpha_k)\ |\ k\in\mathbb N\}\cup\{(x_k-\beta_k,x_k+\beta_k)\ |\ k\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Und jetzt darfst du weiter machen ...

25.06.2009, 18:49

Max Simon

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...würde ich gerne, aber mir ist nicht mal klar, dass deine Mengenvereinigung eine vollständige Überdeckung ist.

Es war schon schwer genug, einzusehen, dass U allein keine Überdeckung ist.

Hier war die Argumentation folgende:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Seien also $\begin{eqnarray*} q_1, q_2 \end{eqnarray*}$ benachbarte rationale Zahlen in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ mit je einer so kleinen Umgebung $\begin{eqnarray*} \epsilon_1,\epsilon_2 \end{eqnarray*}$ , dass der Abstand dieser beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} q_2-q_1>\epsilon_1+\epsilon_2 \end{eqnarray*}$ . Somit entstehen immer Lücken, was nicht der Intuition entspricht, weil ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ und somit auch in diesen Lücken wieder eine rationale Zahl mit winziger Umgebung liegen müsste. Dann wäre aber $\begin{eqnarray*} q_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_2 \end{eqnarray*}$ nicht benachbart gewesen.

Also gibt es solche Lücken.
Diese willst du nun mit deinen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_k \end{eqnarray*}$ -Umgebungen schließen. Die Begründung kann dann ja nur darin liegen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist und deswegen keine beachbarten irrationalen Zahlen existieren und somit keine neuen Lücken in den Lücken entstehen können, weil immer wieder eine weitere irrationale Zahl mit Umgebung dazwischenliegt.

Ok ich habs doch verstanden.

Diese Überdeckung ist offen, weil ihre Teilmengen alle offen sind.
Nun muss ich also zeigen, dass es keine endliche Anzahl dieser offenen Teilmengen gibt, deren Vereinigung wieder eine vollständige Überdeckung ist.

Die Begündung dafür liegt doch wieder in der Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen. Wenn ich nur endlich viele dieser irrationalen "Lückenfüller" nehme, dann kann ich meine $\begin{eqnarray*} \beta_k \end{eqnarray*}$ doch wieder so klein wählen, dass wieder Lücken entstehen, welche nicht mehr gefüllt werden können, weil immer wieder eine neue irrationale Zahl mit Umgebung eingeschoben werden müsste. Dazu reichen endlich viele aber nicht aus.
Somit gibt es keine Überdeckung aus endlich vielen offenen Teilüberdeckungen.

Oh Mann - ich hoffe, das ist einigermaßen verständlich.
Ich glaube nämlich, ich hab das doch verstanden - zumindest eine wage Vorstellung davon.
Also sind diese Gedanken richtig, oder liegt die Begründung woanders?
Und wie um Gottes Willen soll ich das mathematisch korrekt aufschreiben?

Was ich auch noch nicht verstehe, ist, wieso daraus die Überabzählbarkein von U folgt.

25.06.2009, 20:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
Hier war die Argumentation folgende:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Seien also $\begin{eqnarray*} q_1, q_2 \end{eqnarray*}$ benachbarte rationale Zahlen in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ mit je einer so kleinen Umgebung $\begin{eqnarray*} \epsilon_1,\epsilon_2 \end{eqnarray*}$ , dass der Abstand dieser beiden Zahlen $\begin{eqnarray*} q_2-q_1>\epsilon_1+\epsilon_2 \end{eqnarray*}$ . Somit entstehen immer Lücken, was nicht der Intuition entspricht, weil ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ und somit auch in diesen Lücken wieder eine rationale Zahl mit winziger Umgebung liegen müsste. Dann wäre aber $\begin{eqnarray*} q_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_2 \end{eqnarray*}$ nicht benachbart gewesen.

Das ist sehr falsch. Bei ganzen Zahlen kannst du gut sagen, was "benachbart" bedeutet, aber "benachbarte" rationale Zahlen gibt es nicht! Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer noch weitere rationale Zahlen! Die obige Argumentation ist also nicht korrekt und du solltest sie ganz schnell verwerfen.

Auch deine nachfolgenden Überlegungen sind sehr kompliziert und teilweise falsch. Z.B. benutzt du nirgendwo die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \alpha<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Diese ist aber wichtig und unbedingt zu benutzen, sonst ist die Aussage der Aufgabe auch falsch. Ich kann dir an einigen Stellen bei deinen Gedanken auch nicht folgen.

Bei dieser Aufgabe geht es weniger darum, mit Abzählbarkeit oder Überabzählbarkeit zu argumentieren. Du sollst die Überabzählbarkeit beweisen, aber mit anderen Argumenten!

Warum ist das System, was ich oben angegeben habe, eine Überdeckung: Dazu muss man zeigen, dass jedes $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ in einem der Intervalle aus dem System liegt.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Behauptung klar wegen der Definition von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

2. Fall: $\begin{eqnarray*} x\in [0,1]\setminus U \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x=x_k \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x\in (x_k-\beta_k,x_k+\beta_k) \end{eqnarray*}$ , also liegt es in einem Intervall der Überdeckung.

Damit ist das, was ich oben angegeben habe, eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Wegen der Kompaktheit existiert dann eine endliche Teilüberdeckung

$\begin{eqnarray*} \{(r_{k_1}-\alpha_{k_1},r_{k_1}+\alpha_{k_1}),\ldots,(r_{k_m}-\alpha_{k_m},r_{k_m}+\alpha_{k_m}),(x_{j_1}-\beta_{j_1},x_{j_1}+\beta_{j_1}),\ldots,(x_{j_n}-\beta_{j_n},x_{j_n}+\beta_{j_n})\} \end{eqnarray*}$ .

Diese endlich vielen Intervalle überdecken also $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Guck dir jetzt mal die Summe der Intervalllängen an. Dann musst du mit Eigenschaften von Jordaninhalten argumentieren, um einen Widerspruch zu erhalten.

Zitat:

Original von Max Simon
Was ich auch noch nicht verstehe, ist, wieso daraus die Überabzählbarkein von U folgt.

Um die geht es doch gar nicht! $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar, weil es die Vereinigung von Intervallen ist und Intervalle immer überabzählbar sind.

26.06.2009, 00:03

Max Simon

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oh Mann

Wenn man nicht so argumentieren kann, wie ich das oben gemacht hab (konnt ich mir ja auch nicht richtig vorstellen), dann verstehe ich aber nicht, wieso dann $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ selbst keine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ ist.
Denn es gibt doch dann keine "Lücken", weil in diesen ja wieder eine rationale Zahl mit Umgebung liegt und dann wieder eine dazwischen und noch eine ...

Aber dann nehme ich jetzt einfach mal an, dass dem nicht so ist wir deshalb noch die $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ s brauchen.

Das größte Problem ist aber, dass ich mir nicht im Klaren bin, was ich überhaupt zeigen muss, bzw welche Annahme korrigiert werden müsste, z.B. durch einen Widerspruch. Ich denke, dass sollte mir erstmal bewusst werden, eh ich weiteres versuche.

So wie ich das verstehe, benutze ich die Kompaktheit und zeige damit, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar sein kann.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar, weil es die Vereinigung von Intervallen ist und Intervalle immer überabzählbar sind.

Sind wir dann nicht schon fertig?

PS:

Die Summer der Intervalllängen ist gleich

$\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^m~2\alpha_{k_r} + \sum_{s=1}^n~2\beta_{j_s} < 2*\frac{1}{2} + 2*\frac{1}{2} = 2 \end{eqnarray*}$

Als Eigenschaft über Jordan-Inhalte könnte ich mir vorstellen, dass man hier verwenden kann, dass die Vereinigung Jordan-messbarer Mengen wieder Jordan-messbar ist.

Aber es wäre denke ich sinnvoll, wenn ich ersteinmal das Vorgehen wüsste bzw. einen Überblick über die Argumentationsschritte bekomme. Wie man das dann im Einzelnen zeigt, werde ich dann schauen müssen.

Danke für deinen erneuten großen Einsatz!

26.06.2009, 10:33

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
Wenn man nicht so argumentieren kann, wie ich das oben gemacht hab (konnt ich mir ja auch nicht richtig vorstellen), dann verstehe ich aber nicht, wieso dann $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ selbst keine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ ist.
Denn es gibt doch dann keine "Lücken", weil in diesen ja wieder eine rationale Zahl mit Umgebung liegt und dann wieder eine dazwischen und noch eine ...

Ich weiß, dass es anfangs schwierig ist, sich das vorzustellen. Da passt auch folgende zunächst sehr überraschende Eigenschaft (eine Lebesgue-Nullmenge zu sein) der rationalen Zahlen gut dazu:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es abzählbar viele Intervalle, die ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ überdecken und deren Längensumme kleinergleich $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist! Betrachte nämlich dazu eine Abzählung $\begin{eqnarray*} \{q_j\ |\ j\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Menge der Intervalle

$\begin{eqnarray*} \left\{\left(q_1-\frac{\varepsilon}{4},q_1+\frac{\varepsilon}{4}\right),\left(q_2-\frac{\varepsilon}{8},q_2+\frac{\varepsilon}{8}\right),\left(q_3-\frac{\varepsilon}{16},q_3+\frac{\varepsilon}{16}\right),\ldots\right\}=\left\{\left.\left(q_j-\frac{\varepsilon}{2^{j+1}},q_j+\frac{\varepsilon}{2^{j+1}}\right)\ \right|\ j\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und die Längensumme der Intervalle ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty}~2\cdot\frac{\varepsilon}{2^{j+1}}=\varepsilon\cdot\sum_{j=1}^{\infty}~\frac{1}{2^j}=\frac{\varepsilon}{2}\cdot\sum_{j=0}^{\infty}~\frac{1}{2^j}=\frac{\varepsilon}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Jetzt fragt man sich: Wenn die Längensumme so klein ist, dann kann es natürlich lange keine Überdeckung von den ganzen reellen Zahlen sein. Und dein Vorstellungsproblem liegt jetzt genau darin, dass du dir nicht vorstellen kannst, wie die irrationalen Zahlen nicht alle in der Überdeckung liegen können. Ich will versuchen, dir das an einem Beispiel klar zu machen. Ich mach es allerdings mit der rationalen Zahl Null, weil sich das dann einfacher hinschreiben lässt und somit hoffentlich auch besser verständlich ist. Dies musst du dir dann bei der Überdeckung so vorstellen, dass es in der Nähe von überabzählbar vielen irrationalen Zahlen auch so aussieht. Man kann sich das nicht sehr gut vorstellen, aber ich hoffe, es gelingt dir zumindest ein bisschen.

Also sehen wir uns mal die Null an und die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2^n}\right) \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt um jedes Element der Folge ein kleines Intervall als Umgebung lege, dann ist das so ähnlich wie bei der Überdeckung oben. Und deiner Meinung nach müsste dann die Null auch in einem der Intervalle liegen. Das ist aber nicht der Fall. Gucke dir z.B. die Intervalle

$\begin{eqnarray*} \left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8},\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\right),\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16},\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right),\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{32},\frac{1}{8}+\frac{1}{32}\right),\ldots\right\}=\left\{\left.\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+2}},\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+2}}\right)\ \right|\ n\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

an. Mal dir diese auf! Natürlich liegt die Null in keinem der Intervalle und die Intervalle sind sogar disjunkt. Man kann die Intervalle natürlich auch noch viel kleiner machen, wenn man möchte. Analog könnte man dies auch für die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ machen und dort sehr, sehr kleine Intervalle rumlegen. Die Null würde auch dort nicht drin liegen.

Und jetzt stell dir vor, dass dieses Szenario nicht bei der Null passiert, sondern bei sehr vielen irrationalen Zahlen. Das ist genau das, was dabei geschieht.

Zitat:

Original von Max Simon
Das größte Problem ist aber, dass ich mir nicht im Klaren bin, was ich überhaupt zeigen muss, bzw welche Annahme korrigiert werden müsste, z.B. durch einen Widerspruch. Ich denke, dass sollte mir erstmal bewusst werden, eh ich weiteres versuche.

So wie ich das verstehe, benutze ich die Kompaktheit und zeige damit, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar sein kann.

Lies nochmal die Aufgabenstellung, guck dir alles nochmal in Ruhe an und ordne es in deinem Kopf ein wenig.

Zu zeigen: Das Komplement von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} [0,1]\setminus U \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar.

Annahme: $\begin{eqnarray*} [0,1]\setminus U \end{eqnarray*}$ ist (höchstens) abzählbar.

Und mit dieser Annahme will ich am Ende auf den Widerspruch $\begin{eqnarray*} 1<1 \end{eqnarray*}$ kommen.

Zitat:

Original von Max Simon
Die Summer der Intervalllängen ist gleich

$\begin{eqnarray*} \sum_{r=1}^m~2\alpha_{k_r} + \sum_{s=1}^n~2\beta_{j_s} < 2*\frac{1}{2} + 2*\frac{1}{2} = 2 \end{eqnarray*}$

Du hast hier viel zu grob abgeschätzt und überhaupt nicht die geschickte Wahl von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ genutzt. Es geht besser (verwende $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ lieber nicht als Laufindex, denn das sind ja auch die Mittelpunkte der Intervalle von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~2\alpha_{k_i} + \sum_{l=1}^n~2\beta_{j_l}<2\alpha+2\beta=2\alpha+1-2\alpha=1 \end{eqnarray*}$ .

Warum gilt hier das echte Kleinerzeichen? Und warum ist das jetzt ein Widerspruch bzw. wie kommt man nun damit zu $\begin{eqnarray*} 1<1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Max Simon
Als Eigenschaft über Jordan-Inhalte könnte ich mir vorstellen, dass man hier verwenden kann, dass die Vereinigung Jordan-messbarer Mengen wieder Jordan-messbar ist.

Nicht jede beliebige Vereinigung! Im Allgemeinen nur endliche Vereinigung. Das ist auch der Grund, warum wir die Kompaktheit hier brauchen! Man kann dann auch noch was über die Jordan-Inhalte sagen ...

27.06.2009, 15:08

Max Simon

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~2\alpha_{k_i} + \sum_{l=1}^n~2\beta_{j_l}<2\alpha+2\beta=2\alpha+1-2\alpha=1 \end{eqnarray*}$ .

Warum gilt hier das echte Kleinerzeichen? Und warum ist das jetzt ein Widerspruch bzw. wie kommt man nun damit zu $\begin{eqnarray*} 1<1 \end{eqnarray*}$

Das echte Kleinerzeichen gilt, weil wir nur endlich viele $\begin{eqnarray*} \alpha_{k_i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_{j_l} \end{eqnarray*}$ haben und deswegen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~\alpha_{k_i}<\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{l=1}^n~\beta_{j_l}<\beta \end{eqnarray*}$

Desweiteren muss $\begin{eqnarray*} 2\sum_{i=1}^m~\alpha_{k_i} + 2\sum_{l=1}^n~\beta_{j_l}\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, denn sonst wäre es keine vollständige Überdeckung von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Hier ist dann der Widerspruch, das heißt das $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nicht kompakt ist, was ja ein erneuter Widerspruch ist. Folglich kann unsere Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \setminus U \end{eqnarray*}$ nicht abgezählt werden.

Richtig?

Ich muss dir auf jeden Fall nochmal größten Dank aussprechen für die Zeit und die Geduld, die du dir für mich nimmst! Freude

29.06.2009, 20:12

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Max Simon
Desweiteren muss $\begin{eqnarray*} 2\sum_{i=1}^m~\alpha_{k_i} + 2\sum_{l=1}^n~\beta_{j_l}\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein, denn sonst wäre es keine vollständige Überdeckung von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Das sollte man etwas genauer ausführen, denn hier liegt der Knackpunkt, was die Jordan-Messbarkeit angeht. Sonst hätte man ja auch einfach die unendlichen Überdeckungen nehmen und so argumentieren können. Das geht aber nicht, weil man solch eine Eigenschaft bei Jordan-messbaren Mengen nur für endliche Vereinigungen hat. Genauer gilt also nach den Eigenschaften von Jordan-Inhalten für $\begin{eqnarray*} V:=\bigcup\limits_{i=1}^m~(r_{k_i}-\alpha_{k_i},r_{k_i}+\alpha_{k_i})\cup\bigcup\limits_{l=1}^n~(x_{j_l}-\beta_{j_l},x_{j_l}+\beta_{j_l}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq \int~\chi_V\leq\sum_{i=1}^m~\int_{\mathbb R}~\chi_{(r_{k_i}-\alpha_{k_1},r_{k_1}+\alpha_{k_1})}+\sum_{i=1}^m~\int_{\mathbb R}~\chi_{(x_{j_l}-\beta_{j_l},x_{j_l}+\beta_{j_l})}=\sum_{i=1}^m~2\alpha_{k_i} + \sum_{l=1}^n~2\beta_{j_l}<2\alpha+2\beta=2\alpha+1-2\alpha=1 \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ für eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , also das, was du mit $\begin{eqnarray*} \mathbb I_A \end{eqnarray*}$ bezeichnest.

Zitat:

Original von Max Simon
Hier ist dann der Widerspruch, das heißt das $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nicht kompakt ist, was ja ein erneuter Widerspruch ist.

Wenn du einen Widerspruch hast, dann kannst du aufhören. Dann musst du das nicht nochmal auf einen anderen Widerspruch bringen. $\begin{eqnarray*} 1<1 \end{eqnarray*}$ ist offenbar ein Widerspruch. Einen Widerspruch zur Kompaktheit bekommen wir eigentlich nicht, die haben wir einfach nur benutzt. Man könnte natürlich auch sagen, dass es ein Widerspruch zur Kompaktheit ist, aber das wäre hier nicht unbedingt sinnvoll.

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