Minimalpolynom und Isomorphismus

24.06.2009, 22:25

Minimalpolynom und Isomorphismus

Ich habe gerade irgendwie Probleme mit folgender Aufgabe:

Sei V ein n-dim K-Vektorraum (nicht 0-VR) und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus auf K.

zu Zeigen (mu=Minimalpolynom):
$\begin{eqnarray*} \mu_{\phi}(0)\neq 0~\Leftrightarrow \phi~\mathrm{ist~Isom.} \end{eqnarray*}$

Ich habe derzeit leider noch nicht einmal einen Ansatz, obwohl ich schon ziemlich lange darüber brüte.
Wenn wir das charakteristische Polynom schon kennten, dann könnte ich über die Determinante argumentieren (die wir auch noch nicht kennen), aber so fällt mir gerade gar nichts ein. Der Beweis kann nicht wirklich schwierig sein - aber ich glaube, ich habe gerade ein Brett vor dem Kopf...

24.06.2009, 23:11

Mathespezialschüler

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Schreibe $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi}(t)=a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k \end{eqnarray*}$ . Dann gilt also

$\begin{eqnarray*} a_0\mathrm{id}_V+a_1\varphi+\ldots+a_k\varphi^k=0 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} \left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)\circ\varphi=-a_0\mathrm{id}_V \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \varphi\circ\left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)=-a_0\mathrm{id}_V \end{eqnarray*}$ .

Wenn nun $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi}(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, was kannst du dann über den Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aussagen?

Wenn umgekehrt $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi}(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, solltest du ein nichttriviales Element im Kern finden. Dabei brauchst du die Minimaleigenschaft von $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi} \end{eqnarray*}$ .

24.06.2009, 23:30

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn nun $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi}(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, was kannst du dann über den Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aussagen?

Stimmt, wenn $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi} (0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ dann muss ja gelten $\begin{eqnarray*} a_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ (soweit war ich auch vorher). Nur heißt das dann natürlich, dass der Kern nur die Null enthält, weil die Gleichung sonst nicht efüllt wäre.
Damit ist aber $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ aber injektiv und (weil Endomorphismus) damit bijektiv.

Zitat:

Wenn umgekehrt $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi}(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, solltest du ein nichttriviales Element im Kern finden. Dabei brauchst du die Minimaleigenschaft von $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich die Definition richtig verstanden habe, dann hieße $\begin{eqnarray*} \mu_{\varphi}(0)=0 \end{eqnarray*}$ , dass entweder eine Linearkombination der phi 0 ist (was nicht sein kann, da das Polynom minimal war), oder phi(V)=0 mit einem bestimmten Vektor (nicht dem Nullvektor) gilt - womit der Kern eben nicht nur den Nullvektor enthält und damit phi nicht injektiv ist und damit erst recht kein Isomorphismus.

Kann das so ungefähr hinhauen?

Gruß
MI

24.06.2009, 23:34

jester.

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Hatte bisher zwar auch keine Lösung, aber so wie du das geschrieben hast, klingt das ganz sinnvoll.

25.06.2009, 00:21

Mathespezialschüler

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Zum zweiten: Was meinst du mit "Linearkombination der phi"?

Die Ideen scheinen die richtigen zu sein. Jetzt muss man das nur noch mathematisch korrekt hinschreiben.

Sei $\begin{eqnarray*} a_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in\ker\varphi \end{eqnarray*}$ . Dann folgt

$\begin{eqnarray*} -a_0v=\left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)(\varphi(v))=a_1\cdot 0+\ldots+a_k\varphi^{k-1}(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Was ergibt sich daraus?

Sei nun $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \varphi\circ\left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das Polynom in der Klammer kann nicht die Nullabbildung sein (warum?), also gibt es einen Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u:=\left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)(w)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegt $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ offenbar im Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und es ist $\begin{eqnarray*} \ker\varphi\supsetneq\{0\} \end{eqnarray*}$ .

25.06.2009, 22:39

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Ideen scheinen die richtigen zu sein. Jetzt muss man das nur noch mathematisch korrekt hinschreiben.

Ja, das war mir klar, mir ging es ohnehin nur um die Ideen.

Inzwischen ist die Aufgabe für mich erledigt, also vielen herzlichen Dank an dich, der Ansatz hat mir sehr geholfen!

Dennoch mach ich einfach noch einmal weiter:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} a_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in\ker\varphi \end{eqnarray*}$ . Dann folgt

$\begin{eqnarray*} -a_0v=\left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)(\varphi(v))=a_1\cdot 0+\ldots+a_k\varphi^{k-1}(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Was ergibt sich daraus?

Naja, vereinfach gesagt steht dort nun:
Sei $\begin{eqnarray*} a_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in \mathrm{ker}\,\varphi \end{eqnarray*}$ . Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} -a_0\cdot v = \ldots = 0 \end{eqnarray*}$
Dies ist aber nur erfüllt für den Nullvektor, da $\begin{eqnarray*} a_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung. Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \mathrm{ker}\,\varphi=\{0\} \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ injektiv und damit (da die Dimension des Vektorraums, auf dem $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ definiert ist endlich ist) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bijektiv, also Isomorphismus.

Zitat:

Sei nun $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \varphi\circ\left(a_1\mathrm{id}_V+\ldots+a_k\varphi^{k-1}\right)=0 \end{eqnarray*}$ .

Das Polynom in der Klammer kann nicht die Nullabbildung sein (warum?)

Das meinte ich - falsch ausgedrückt - mit "Linearkombination", aber eigentlich meinte ich:

Wenn das Polynom in den Klammen die Nullabbildung wäre (Annahme), dann wäre es ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Dadurch, dass sein Grad aber kleiner ist als der des Minimalpolynoms, führte dies zu einem Widerspruch mit der Minimalität des MinPol.

Den Rest hast du ja schon aufgeschrieben.

Gruß und nochmals Danke
Martin

25.06.2009, 23:18

WebFritzi

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So ist es gut.

25.06.2009, 23:19

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Dann auch noch einmal an dich, WebFritzi, vielen Dank für's drüberschauen!

Gruß und einen schönen Abend noch smile

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