Ableitung skizzieren

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Barty Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung skizzieren
Hallo zusammen,

folgende Situation: Der Graph einer Funktion ist gegeben. Dazu soll ich die erste Ableitung skizzieren.

Ich weiß, dass:

Minimum von f = Nullstelle von f' (von - nach + verlaufend)

Maximum von f = Ns von f' (von + nach - verlaufend)

Wendestelle von f = Extremum von f'

Doch wie soll ich das zeichnen, ohne Zahlenangaben? Woher weiß ich, welches Extremum ich für f' zeichnen soll? Welche Entfernungen nehm ich?

Für Eure Hilfe vielen Dank!
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung skizzieren
Wahrscheinlich geht es einfach nur um eine Skizze. Das hieße:

Wähle einfach keine Skala auf der y-Achse und zeichne das Maximum/Minimum beliebig hoch (per Augenmaß kann man vielleicht Unterschiede in der Steigung in Wendepunkten deutlich machen - oder du misst mit dem Lineal ungefähr).

Welches Extremum (Hochpunkt, Tiefpunkt) gemeint ist, sollte klar sein, wenn du die Nullstellen und Vorzeichenwechsel eingetragen hast.

Gruß
MI
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, super schon mal, danke!

Was mach ich aber bei einer Funktion wie sie sich im Anhang befindet? (f ist rot, f' ist gestrichelt)

Wie geh ich hier vor?

- Nullstellen sind klar, die erkenn ich ja an Min und Max von f


Wie komm ich auf das Minimum von f' ?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Naja:
Das Minimum muss ja am Wendepunkt sein. Insofern es sich hier um Polynomfunktionen handelt, liegt der symmetrisch zwischen den Extremstellen.
Und dann gilt natürlich:

Minimum - falls es da fällt,
Maximum - falls es da steigt. Augenzwinkern

Gruß
MI
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Wendestelle von f befindet sich doch zwischen 0 und 2, oder nicht? Folglich muss sich da dann auch das Extremum von f' befinden.
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aufs Maximum von f' bin ich gekommen, da es sich bei f um einen Wendepunkt handelt. Das Max. muss also über dem WP von f liegen (da f an dieser Stelle steigt).

Wie aber komm ich aufs Minimum von f'? Liegt das nur an der Symmetrie? Kann ich die einfach so ablesen?
 
 
knups Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl schon einiges gesagt wurde, hier vielleicht etwas zur Klärung nüzliches:

Der rote Graf gehört zu einer ganz-rationalen Funktion 3.Grades Da der Graf "von oben" kommt, könnte die Fkt. in etwa lauten f(x) = -2x^3+x^2-5x + 4
Aus der Zeichnung ersieht man: Im Ursprung (0/0) liegt eine doppelte Nullstelle, die auch Min ist, eine weitere Nullst. bei etwa 2,333. Die Fkt. wäre dann in etwa
f(x) = k*(x^2*(x-2,33).
Die 1.Ableitung muß 2.Grades sein, also eine Parabel, die hier nach unten geöffnet ist und Nullszellen im Ursprung und bei etwa 2.33 hat Ihr Max. liegt genau inder Mitte der beiden Nullstelle, also bei (0+2,33)/2. Dort ist auch der WP von f(x)
Dei 2.Abl. ist 1.Grades, also eine Gerade, die bei 2.33 ihre Nullstelle habt. Sie ist fallend

Ich muß eine kleine Pause einlegen, bis gleich

Vielleicht ist ein Beispiel hilfreich:



Sicher kannst Du die Ableitungen bilden
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher dass f(x) 3. Grades ist?

Die 1. Ableitung (blau) ist ja schon 3. Grades, da drei Nullstellen.
knups Auf diesen Beitrag antworten »

Sind denn alle 3 Grafen vorgegeben? Dann muß die rote Kurve natürlich 4.Grades sein, die 1.Abl.3.Grades und die 2.Abl. 2.Grades
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich war nur f(x) gegeben (rot). Ich soll dann die beiden Ableitungen zeichnen.

Das Bild gehört zur Lösung, ich komm aber nicht drauf.
knups Auf diesen Beitrag antworten »

Die rote Kurve sieht aber aus wie eine Funktion 3.Grades, eine Kurve 4.Grades müßte entweder von unten kommen und auch nach unten gehen oder umkekehrt. (Die Ausdrucksweise ist zwar nicht korekt, aber wohl verstänlich).Wenn also f(x) 4.Grades sein soll, ist die Zeichnung miserabel
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie kann die 1. Ableitung sonst 3 Nullstellen haben?
knups Auf diesen Beitrag antworten »

dann müßte die rote doch 3 Extreme haben - oder?
Jetzt erst mal Mittagspause, melde mich bald wieder , etwa 30 Minuten

Nehmen wir an, die 1.Abl. (3.Grades) habe die Nullstellen bei -4,5 und +2 sowie 0. Dann würde die Fkt. lauten

,

die 2.Abl. also



und die Fkt. selbst

MI Auf diesen Beitrag antworten »

Der rote Graph hört auf, bevor der hypothetische Wendepunkt zu sehen ist und weit, bevor das letzte Maximum zu sehen ist.
Es ist also - ohne genauere Angaben oder Annahmen - nicht möglich, diese Punkte in der Ableitung einzuzeichnen. Man kann nicht darauf kommen, weil man das nicht aus dem Graphen sehen kann.

Um zumindest zu sehen, dass noch nicht die ganze Wahrheit dahintersteckt, müsste man Folgendes annehmen und sehen:
1. Die Funktion ist ganzrational und hat nicht viele Maxima, außerdem ist sie nicht irgendwie stückweise zusammengesetzt, sprich: Die Funktion lässt sich geschlossen in einem Polynom angeben.
2. Unter dieser Annahme erkennt man, wenn man sich den linken Ast anschaut, ein anormales Steigungsverhalten: Anstatt schneller zu steigen (wie es eine Funktion dritten Gerades täte), wird das Wachstum fast linear, wächst also nicht mehr stärker.
3. Unter Berücksichtigung der Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen bedeuted dies, dass es zumindest noch irgendeine Wendestelle/Extremstelle, etc. über das Intervall hinaus geben muss.

Gruß
MI
knups Auf diesen Beitrag antworten »

@ Barty

Bevor ich dir bei dieser eigentlich simplen Aufgabe weiterhin helfe, bitte ich Dich um die Beantwortung der beiden folgenden Fragen:

1 - Wie lautet der komplette Aufgabentext einschließlich graf von f(x)?
2 - Ist der von Dir beigefügte Plot Bestandteil der Aufgabenstellung oder Lösung der Aufgabe?

Der Aufgabentext könnte z.B. so lauten:

Die beigefügte Kurve ist der Graf einer (ganz-rationlen) Funktion 4.Grades
Skizziere die Grafen der 1. und 2.Ableitung der Funktion
Barty Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Ausgangssituation:

Der rote Graph war gegeben.

Aufgabe: Die Ableitung dazu skizzieren. Mehr ist eigentlich nicht zu tun.


Bei dem Bild handelt es sich um die Lösung (das ganze hab ich im Internet gefunden). Deswegen hab ich mich ja gewundert. Aber wie MI schon geschrieben hat, anhand der Situation kann man die Ableitung (so wie in der Lösung) nicht zeichnen.
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Barty
Aber wie MI schon geschrieben hat, anhand der Situation kann man die Ableitung (so wie in der Lösung) nicht zeichnen.

Ich mache folgende erste Annahme:
Die Funktion f(x) (roter Graph) ist ganzrational vom Grad 3, dann ist f'(x) vom Grad 2 also eine Parabel, dann liegt der Wendepunkt von f(x) auf halber Distanz zwischen den beiden Extremwerten( x=0 und x=2,xx) von f(x). Das kann man begründen mit der Symmetrie der Parabel. f(x) wäre dann punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Links und rechts vom Wendepunkt ist die Steigung von f(x) vom Betrag her gleich.
Sieht man sich den Graph von f(x) genau an, so ist f(x) nicht punktsymmetrisch zum Wendepunkt, d. h., f'(x) kann nicht durch eine Parabel dargestellt werden.

2. Annahme:
Die Funktion f(x) (roter Graph) ist ganzrational vom Grad 4, dann ist f'(x) vom Grad 3 und f'(x) hat einen Wendepunkt.
Skizziert man jetzt die Punkte für f'(x) und f''(x), so erkennt man, dass f'(x) drei Nullstellen und f(x) somit einen weiteren Extremwert hat. f''(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel und muss eine weitere Nullstelle auf der negativen x-Achse haben. Der Wendepunkt und Extremwert von f(x) liegt demnach auf der negativen x-Achse außerhalb des gezeichneten roten Graphen.
knups Auf diesen Beitrag antworten »

danke, aber damit kann man nicht mehr anfangen als bisher. f(x) müßte 4.Grades sein, ist aber offenbar unvollsrändig gezeichnet. Da die Aufgabe nicht vom Lehrer oder aus dem Lehrbuch stammt, schlage ich vor, das Thema zu beenden. Es bringt ja nichts mehr.
Ich will aber gerne eine gleichartige Aufgabe liefern, falls du es wünscht.
Gruß
K.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Funktionsgleichung muss so lauten:





Die im Graphen abgebildete Beispiels-Funktion ist vom Grad 4 und hat nur (scheinbar) 2 sichtbare Nullstellen. Erstens liegt in 0/0 eine doppelte Nullstelle vor und zweitens gibt es noch eine 4. Nullstelle, sie liegt bei -10,14

Wie die Verhältnisse im Ganzen liegen, zeigen jetzt die untenstehenden Graphen; rechts mit kleinerem y- Maßstab.



Rot: f(x); Grün: f '(x); Blau: f ''(x)

Und alles ist so, wie es sein soll.

mY+
knups Auf diesen Beitrag antworten »

Die "Lösung" ist zwar wunderschön -aber das klappt nur, weil die Ableitungskurven, die ja gesucht sind, schon da sind. Die geg. rote Kurve allein reicht da doch wohl nicht, es sei denn, man erkennt, dass die zugehörige Fkt. nicht 3. sondern 4.Grades ist. Sie könnte dann eigentlich alles sein, also auch höheren Grades etwa.
Ich meine, die Aufgabenstellung ist so nicht korrekt. Man kann nicht nur einen Teil des Grafen angeben und den Rest der Fantasie des Schülers überlassen.
Gruß
K.

PS Eine Frage: beim schreiben des Textes wird ständig rot unterstrichen - was mache ich falsch?
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