Topologieaufgaben |
| 19.09.2006, 01:58 | Topologiedummie | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Topologieaufgaben Übersetzung aus dem Englischen: :-) 1. Zeige, dass {B(x,r)}, x Element R² (reelle Zahlen), r Element R (reelle Zahlen) eine Basis formen für eine Topologie im R². 2. Angenommen T und T' sind Topologien auf X und S ist eine Unterbasis von T. Zeige, dass wenn T Teilmenge T', dann ist T' feiner (Gegenteil von gröber) als T. 3. a) Benutze folgendes Lemma: "Sei X ein topologischer Raum. Nehmen wir an, dass C eine Kollektion bestehend aus offenen Mengen von X sei, so dass für jede offene Menge U von X und jedem x aus U gilt, dass es ein Element c aus C existiert, so dass x Element c Teilmenge von U ist. Dann ist C eine Basis für die Topologie auf X." um zu zeigen, dass die abzählbare Kollektion B={(a,b)|a < b, a und b rational} eine Basis ist, die die Standardtopologie auf R (reele Zahlen) generiert. 3. b) Zeige, dass die Kollektion C={(a,b)|a < b, a und b rational} eine Basis ist, die eine andere als die Kleinstmaßtopologie (übersetzt aus dem engl. lower limit topology) auf R (reele Zahlen) generiert. 4. Wenn T und T' Topologien auf X sind und T' strikt feiner ist als T, was kann man dann über die dazugehörigen Unterraumtopologien auf der Untermenge Y von X sagen? 5. Betrachte die Menge Y=[-1,1] als eine Untermenge von R. Welche der folgendenen Menge sind offen in Y? Welche sind offen in R? 1) A={x | 1/2 < |x| < 1} 2) B={x | 1/2 < |x| <= 1} 3) C={x | 1/2 <= |x| < 1} 4) D={x | 1/2 <= |x| <= 1} 5) E={x | 0 < |x| < 1 and 1/x nicht Element Z+ (positive ganze Zahlen)} 6. Beschreibe X eine Menge in der Topologie T und X' eine Menge in der Topologie T'. Desweiteren beschreibe Y eine Menge in der Topologie U und Y' eine Menge in der Topologie U'. Angenommen diese Mengen sind nicht leer. a) Zeige, dass wenn T' Übermenge von T und U' Übermenge von U ist, dann ist die Produkttopologie auf X' x Y' feiner als die Produkttopologie auf X x Y. b) Gilt das Gegenteil von Aufgabe a) auch? Begründe deine Antwort. 7. Wenn K eine Gerade in der Ebene ist, beschreibe die Topologie K, welche ihre Eigenschaften durch Vererbung als Unterraum von R_L x R und als Unterraum von R_L x R_L erhält. In jedem dieser Fälle ist dies eine bekannte Topologie. |
||
| 19.09.2006, 13:43 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Topologieaufgaben Was sind deine Ideen zu den Aufgaben bzw. welche Begriffe kennst du ? Was ist bei den Aufgaben zu zeigen (in eigenen Worten) ? Grüße Abakus 
**** verschoben nach HöMa **** |
||
|
|