Skalarprodukt - Bilinearform |
| 24.06.2009, 23:49 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Skalarprodukt - Bilinearform folgendes muss ich zeigen: Das Skalarprodukt (x.y) auf dem ist eine Bilinearform mit maximalem Rang n. Ist die darstellende Matrix dieser Bilinearform nicht einfach die Einheitsmatrix? |
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| 25.06.2009, 04:10 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Skalarprodukt - Bilinearform
Bezüglich der Standardbasis, ja. |
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| 25.06.2009, 09:30 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann hätten wir es ja. Die darstellende Matrix kann ja nur eine n x n - Matrix sein. Und der maximale Rang ist eben n. |
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| 25.06.2009, 09:59 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Skalarprodukt x*Gy mit einer symmetrischen Matrix G kann man bezüglich jeder Basis betrachten, also auch bezüglich der natürliche Basis. Beim naiven Skalarprodukt x*y ist G natürlich die Einheitsmatrix (bezüglich der natürlichen Basis). Da die Längen und Winkel mit Hilfe des Skalarproduktes berechnet werden, führt die Einführung der Matrix G zu einer „Verzerrung“ der Längen- und Winkelmessung im Raum. Deshalb bezeichnet man G auch als Metrik des Raumes. Man kann die Metrik sogar als ortsabhängig betrachten. Dann ist G in jedem Punkt verschieden. Das führt dazu, dass ein und derselbe Vektor an verschiedenen Orten eine unterschiedliche Länge hat. Auch der Winkel zwischen zwei festen Vektoren wäre an verschiedenen Ort unterschiedlich. Man sagt dann, der Raum ist „gekrümmt“. Das spielt in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Einstein hat gefunden, dass jede Masseverteilung im Weltraum den Raum krümmt. Zum Beispiel verlaufen Lichtstrahlen in der Nähe großer Massen nicht gerade, sondern entlang krummer Linien. Mathematisch bedeutet dies, dass die Matrix G, welche im Skalarprodukt x*Gy vorkommt, von der Dichtevereilung rho(x,y,z,t) im Raum abhängt. Im Jahre 1916 fand Einstein eine Gleichung, mit der er die 16 Matrixelemente der Matrix G aus der Kenntnis der Dichteverteilung rho(x,y,z,t) berechnen konnte (genauer aus der Kenntnis der Energie-Impuls-Tensors). Das ist die Grundaussage der Relativitätstheorie. Alle Interpretationen der Kosmologie - wie z.B. schwarze Löcher - sind nicht anderes als gewisse Metriken G, die sich als Lösungen dieser Einsteinschen Gleichung ergeben. Zum Beispiel ist die Metrik G innerhalb innerhalb von schwarzen Löchern so stark verzerrt, dass dort der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen, von außen als unendlich lang erscheint. Die Zeit bleibt praktisch stehen (von außen betrachtet, im schwarzen Loch nicht). Der Begriff "Metrik" spielt also eine fundamentale Rolle in der Physik und Geometrie. Wesentlich ist, dass die Metrik völlig unabhängig von irgendwelchen Koordinatensystemen festgelegt werden kann. |
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| 25.06.2009, 13:18 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit "Metrik" meinst du natürlich ein inneres Produkt (welches im allgemeinen nicht positiv definit sein muss und auch entartet sein kann). Sprich: Eine symmetrische Bilinear- bzw. (im Komplexen) hermitesche Sesquilinearform. |
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| 29.06.2009, 13:12 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein "Danke" hören wir auch gern, Tommy... |
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| 29.06.2009, 14:06 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab aber kein Mikrofon 
Dann schreib ich es eben hin, damit ihr es lesen könnt: DANKE! |
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| 29.06.2009, 14:09 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. IMHO gehört das halt dazu, wenn andere sich Gedanken über dein Problem machen. |
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