Minimaler Abstand zwischen Punktmengen

25.06.2009, 11:19	Esinef	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimaler Abstand zwischen Punktmengen Ich hoffe mir kann jemand bei folgendem Problem helfen. Ich suche da schon einige Zeit lang ne Formel oder nen Lösungsweg. Ich habe zwei Punktmengen mit jeweils der gleichen Anzahl und mindestens 5 Punkte pro Menge. Also A,B mit $\begin{eqnarray} A=(a_0,...,a_n);B=(b_0,...,b_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n >= 4 \end{eqnarray}$ .Ich suche nun eine affine Transformation t die eine der Menge so verschiebt, dass die Punkte möglichst nah beieinander liegen. $\begin{eqnarray} tA = B \end{eqnarray}$ Ich soll dafür, dass Least Square Verfahren anwenden. Hab mich da grob an Wikipedia orientiert. A,B schreibe ich dann als Matrix, so dass in jeder Zeile ein Punkt ist und die Spalte dann die entsprechende Koordinate enthält. Da t die Unbekannte ist habe ich die Formel erstmal so umgestellt: $\begin{eqnarray} A^T * t^T = B^T \end{eqnarray}$ . Für das Verfahren benutze ich nun jeweils nur eine Spalte der t und der B Matrix ( $\begin{eqnarray} A^T * t_i^T = B_i^T \end{eqnarray}$ ) . Als Funktionen hab ich dann $\begin{eqnarray} b_{ij} = a_{0j} * t_{i0} + a_{1j} * t_{i1} + a_{2j} * t_{i2} + a_{3j} * t_{i3} \end{eqnarray}$ und ich muss $\begin{eqnarray} \|\|a_{0j} * t_{i0} + a_{1j} * t_{i1} + a_{2j} * t_{i2} + a_{3j} * t_{i3} - b_{ij} \|\| \end{eqnarray}$ minimieren. Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Wenn mir jemand sagen kann ob mein Ansatz so richtig ist, und noch besser mir die Formel, wie ich nun die $\begin{eqnarray} t_{ij} \end{eqnarray*}$ berechne die den Punktabstand minimiere geben kann wäre ich sehr dankbar. Auch jeder kleinste Hinweis kann mir evntl. schon weiter helfen. Viele Grüße und Dank im Voraus Esinef
27.06.2009, 18:26	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimaler Abstand zwischen Punktmengen Warum rechnest Du nicht den Schwerpunkt beider Mengen aus und wählst die affine Transformation so, dass der Schwerpunkt der einen Menge auf den Schwerpunkt der anderen verschoben wird? Was wird als Abstand zweier Punktmengen definiert? Die Summe der Abstände jedes Punktes der einen Menge zu allen Punkten der anderen Menge? P.S.: Weiterhin kann eine Drehung einer Punktmenge nötig sein, das macht man sich leicht klar an zwei Einheitswürfeln (Punktmenge mit 2^d Punkten) mit gleichem Schwerpunkt, deren Kanten aber nicht deckungsgleich sind. Die Frage bleibt weiterhin das Abstandsmass: Ist im Fall zweier deckungsgleicher Einheitswürfel das Abstandsmass 0 - weil jeder Punkt der Menge A mit seinem nächsten Nachbarn der Menge B zusammenfällt - das oben erwähnte Mass würde natürlich nicht 0 ergeben.

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