Bruchteil einer unendlichen Menge

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Töröö Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchteil einer unendlichen Menge
Es geht mir nur um eine begriffliche Klärung:

Macht es Sinn von einem Bruchteil einer (abzählbar) unendlichen Menge zu sprechen? Kann man z.B. eine Teilmenge der natürlichen Zahlen angeben, von der man sagen kann, dass sie 1/5 der natürlichen Zahlen enthält?
Klar könnte man sich eine Menge basteln, die z.B. nur jede 5. nat. Zahl enthält (1, 6, 11, 16, 21, ...).
Aber gibt es eine Definition, die mir sagt, dass das dann auch 1/5 der natürlichen Zahlen sind?
Ich kann ja schlecht das Verhältnis der Mächtigkeiten bilden, wie ich es bei endlichen Mengen tun würde smile .
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Nach den üblichen Definitionen sind alle abzählbaren Mengen exakt gleich „groß“ (gleichmächtig). Also |{1, 6, 11, 16, ...}| = |{1, 2, 3, ...}|.

Wenn Du Verhältnisgleichungen mit unendlichen Größen aufstellen möchtest, dann musst Du eine neue Größendefinition „erfinden“. Ob dabei etwas Sinnvolles herauskommt, weiß ich aber nicht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht imho keinen Sinn. Denn bekanntermaßen ist die Menge gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen.

Also
Töröö Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Die Frage resultierte aus einem Pädagogik-Text, in dem von einer prinzipiell unendlichen Aufgabenmenge ein Mindestlösungsprozentsatz gefordert und theoretisch umfangreich verbraten wurde. Naja, hat der gute Mann wohl nicht zu Ende gedacht, was er da geschrieben hat...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Töröö
Macht es Sinn von einem Bruchteil einer (abzählbar) unendlichen Menge zu sprechen? Kann man z.B. eine Teilmenge der natürlichen Zahlen angeben, von der man sagen kann, dass sie 1/5 der natürlichen Zahlen enthält?

Als mit dem Konzept der Sigma-Endlichkeit vertrauter Maßtheoretiker würde mir schon Möglichkeiten einer solchen Definition einfallen:

Wenn etwa die Menge der ersten natürlichen Zahlen bezeichnen möge, dann kann man für eine gegebene Menge natürlicher Zahlen sowas wie



betrachten, so denn dieser Grenzwert überhaupt existiert - vielleicht auch erstmal nur die garantiert existenten

und .
Töröö Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent:
Danke, das ist die Formalisierung, auf die ich irgendwie nicht gekommen bin. Sowas ähnliches schwebte mir vor. Für abzählbar unendlich geht's also.

@alle:
Verschärfung der Spielregeln:
Wenn es jetzt zum Beispiel um eine Aufgabenmenge aus Multiplikationsaufgaben der Form x*y geht, wobei alle reellen Zahlen zugelasse werden würden, dann wäre die Menge ja sogar überabzählbar. Gibt's dafür auf noch Möglichkeiten?

Das macht ja richtig Spaß hier, töröööööö smile
 
 
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