Lagebeziehungen von Geraden

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sb159 Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebeziehungen von Geraden
Hallo,

habe ein Problem mit einer Aufgabe, die ich im Matheboard-Archiv gefunden habe...

und zwar ist es diese:

http://www.matheboard.de/archive/6090/thread.html

Ich verstehe nicht, warum man, um zu prüfen ob die Geraden identisch sind, den differenzvektor bilden muss...

Kann man nicht einfach die lineare abhängigkeit beider stüztvektoren aufeinander prüfen? Das müsste doch auch, abgesehen von den richtungsvektoren, aufschluss geben ob die geraden identisch sind, oder?

...sollte das nicht der fall sein, verstehe ich nicht wie der thread-starter das LGS gelöst hat (außer durch probieren), indem der Differenzvektor auf abhängigkeit von den beiden richtungsvektoren untersucht wird... man könnte an der stelle ja außerdem von vornherein sagen, dass man alle parameter 0 setzt, so würde die gleichung auch erfüllt werden...

Habe am montag mündl. abi-prüf., wäre nett wenn jem. helfen könnte smile

vielen dank im voraus

greets sb159
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auch bei identischen oder parallelen Geraden sind die Stützvektoren im Allgemeinen nicht linear abhängig. Das kannst du sofort sehen, wenn du auf ein und derselben Geraden zwei verschiedene Stützpunkte annimmst und die Ortsvektoren auf Kollinearität untersuchst. Daher ist nachzusehen, ob der Differenzvektor nicht auch parallel zu dem Richtungsvektor der Geraden ist.

Übrigens: Wenn in der Vektor-Relation nur alle Parameter Null sind, liegt lineare Unabhängigkeit vor. Bei linearer Abhängigkeit gilt jedoch die triviale Relation ebenso, aber ausser dieser auch eine nichttriviale Relation!

mY+
sb159 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle antwort,... habe es mir inzwischen aber auch durch überlegungen verdeutlichen können.

aber es würde in dem fall doch reichen den differenzvektor auf abhängigkeit von nur einem richtungsvektor zu prüfen (vorrausgesetzt man weiß, dass die geraden zumindest schonmal echt parallel sind)...

sehe ich das richtig?

habe zwar noch nicht verstanden warum der thread-starter im archiv-beitrag diese art von gleichung :



ansetzt, bzw. wie diese dann zu lösen ist nach konventionellen, mir bekannten verfahren,... ist aber auch nicht so wichtig.

dennoch müssten doch die stützvektoren, bei zwei identischen geraden, beide punkte auf der "identischen" gerade haben und somit voneinander abhängig sein,...?

kann auch sein, dass ich noch nicht ganz den durchblick habe smile

trotzdem vielen dank für die schnelle antwort.

gruß sb159
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Falls die Geraden bereits parallel sind, würde man dies ja an der Kollinearität der Richtungsvektoren sehen. Deshalb genügt es, nur noch die lineare Abhängigkeit des Differenzvektors mit einem der Richtungsvektoren zu untersuchen.

Die Gleichung mit den drei Parametern k, l und m ist genau jene Relation, die die lineare Ab- oder Unabhängigkeit anzeigt: Gibt es nur die triviale Lösung (0; 0; 0), so liegt lineare Unabh. vor, andernfalls kann es neben der trivialen Lösung (die es immer gibt (!), auch noch von Null verschiedene Lösungen geben (lin. Abh.).

Dein letzte Aussage ist nicht richtig, denn auch die Ortsvektoren zu zwei verschiedenen Stützpunkten ein und derselben Geraden sind lin. unabhängig, ausser die Gerade geht zufällig durch den Nullpunkt. Das habe ich dir bereits im vorigen Beitrag versucht, auseinanderzusetzen, aber offensichtlich willst du dies nicht recht glauben.

mY+
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