Kurvenintegral /Vektorfeld

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superkato Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral /Vektorfeld
Hallo könnt ihr mir bei der o.g. Aufgabe helfen? Ich komm nicht weiter:

Aufgabenstellung: Gegeben ist das VektorfeldF(x;y)= 3x^4 *y^4 ; 5y^4 + 4x^3*y^3 und eine Kurve C die folgende Parameter hat x=x(t)=cos²(3t); y=y(t)=sin²(3t) im intervall t von 0 bis Pi/6
Berechnen sie das Kurvenintegral Integral C von FdX

C= ( x'(t)= -6sin(3t)cos(3t); y'(t)= 6sin(3t)cos(3t) )

F(x;y)= 3x^4 *y^4 ; 5y^4 + 4x^3*y^3

0 < t <pi/6

Integral von 0 bis pi/6 ( 3x^4 *y^4+5y^4 + 4x^3*y^3) (x'(t))dt

kommt jetzt da wo x(t) steht die Ableitung von

x=x(t)=cos²(3t)
y=y(t)=sin²(3t)

rein ? also

x'(t)= -6sin(3t)cos(3t)
y'(t)= 6sin(3t)cos(3t)

oder die Punkte die ich rausbekomme wenn ich t für den intervall von 0 bis Pi sechstel einsetze also:

x=x(t)=cos²(3*0) => 1; & cos²(3*pi/6) => 0
y=y(t)=sin²(3*0) => 0; & sin²(3*pi/6) => 1

=> diese Punkte geben ja gezeichnet eine gerade, kann das vielleicht etwas bedeuten?

normalerweise ist ja bei so einer aufgabe ein einfacher Wert für t gegeben der Abgeleitet immer noch einfach ist. Aber wenn ich wirklich die Ableitung von x und y einsetzen soll dann hab ich ja ein Integral am ende das 5 Zeilen lang ist... Das kommt mir faul vor. Habt ihr vielleicht eine Idee?

Vielen Dank im vorraus!

Anja - die schwer am Mathe lernen für die Klausur ist

Wenn ich wüsste wo ich einen guten mathe nachhilfe menschen finden würde, dann würde ich euch nicht hier immer auf den Geist gehen unglücklich
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze den Formeleditor. So ist das kaum lesbar.
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

OK stimmt smile

Hallo könnt ihr mir bei der o.g. Aufgabe helfen? Ich komm nicht weiter:

Aufgabenstellung: Gegeben ist das Vektorfeld F(x,y) =

und eine Kurve C die folgende Parameter hat x=x(t)=cos²(3t); y=y(t)=sin²(3t) im intervall t von 0 bis Pi/6
Berechnen sie das Kurvenintegral



C= ( x'(t)= -6sin(3t)cos(3t); y'(t)= 6sin(3t)cos(3t) )


0 < t <pi/6



kommt jetzt da wo x'(t) steht die Ableitung von

x=x(t)=cos²(3t)
y=y(t)=sin²(3t)

rein ? also

x'(t)= -6sin(3t)cos(3t)
y'(t)= 6sin(3t)cos(3t)

oder die Punkte die ich rausbekomme wenn ich t für den intervall von 0 bis Pi sechstel einsetze also:

x=x(t)=cos²(3*0) => 1; & cos²(3*pi/6) => 0
y=y(t)=sin²(3*0) => 0; & sin²(3*pi/6) => 1

Der Anfangs und Endpunkt für C im intervall ist ja somit P1(x,y)=[1,0] und P2(x,y)=[0,1] was ja eine gerade darstellt.

normalerweise ist ja bei so einer aufgabe ein einfacher Wert für t gegeben der Abgeleitet immer noch einfach ist. Aber wenn ich wirklich die Ableitung von x und y einsetzen soll dann hab ich ja ein Integral am ende das 5 Zeilen lang ist... Das kommt mir faul vor. Habt ihr vielleicht eine Idee?

Vielen Dank im vorraus!

Anja - die schwer am Mathe lernen für die Klausur ist

Wenn ich wüsste wo ich einen guten mathe nachhilfe menschen finden würde, dann würde ich euch nicht hier immer auf den Geist gehen unglücklich
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Warum benutzt du nur oben den Formeleditor und dann nicht mehr? Also, ich will dir so jedenfalls nicht helfen. Sonst vielleicht.

EDIT: Und bitte editiere deinen Beitrag anstatt ihn nochmal komplett neu reinzustellen. In deinem Beitrag findest du oben einen Button mit der Aufschrift "Edit".

EDIT2: voraus wird nur mit einem r geschrieben.
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

Hi WebFritzi,

ja in der eile schreibt man etwas "falsch".

ich habe bereits versucht den Formeleditor oben im ersten Beitrag anzuwenden.
Leider habe ich diese Meldung erhalten:

"Sie können Beiträge nur innerhalb von 15 Minuten, nachdem Sie sie verfasst haben, bearbeiten."

Daher ging das nicht mehr.

Für die weiteren Begriffe wie cos² und sin² ist es doch nicht mehr nötig den Formeleditor zu benutzen, da es meiner Meinung so schon gut lesbar ist.

Wenn sich ein freundlicher Moderator findet, der den ersten Beitrag löschen würde, wäre es selbstverständlich übersichtlicher.

Jedenfalls bin ich schon soweit mit der Aufgabe:

da es sich um eine gerade handelt, kann man schreiben

x(u)=(1-u) und y(u)=(u)

somit :

c=(1-t;t) und davon die Ableitung wäre c'=(-1;1)

Dann müsste das Integral doch lauten:



oder fallen die Trigo. Grenzen weg?

Lg im voraus
Anja
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das folgende Integral berechnen:



Dabei ist das Standard-Skalarprodukt.
 
 
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

traurig

aber die Grenzen sind doch nicht mehr die gleichen wenn ich aus der Trig. eine normale Funktion einer Geraden mache ?!
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

http://img510.imageshack.us/img510/1163/aufzeichnenj.jpg

so müsste das Integral aussehen aber wie gehe ich jetzt weiter?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist Stuss. Setze bitte einfach in die Formel ein, die ich dir gegeben habe.
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

Aber schau doch mal

der Anfangs und Endpunkt ist doch bei 1,0 und 0,1 also eine gerade die von 0,0 nach 1,1 geht.

Meine Grenzen sind doch dann anders. Wenn ich die trig. Fkt. benutze dann müsste ich das mit dem 0 bis Pi sechstel machen aber auch cos²(3t) und sin²(3t) benutzen. Das wäre doch zuviel Aufwand für diese "verschachtelte" Gerade.




und daraus :
das Skalar produkt bilden und oben einsetzen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von superkato
der Anfangs und Endpunkt ist doch bei 1,0 und 0,1 also eine gerade die von 0,0 nach 1,1 geht.


Das hast du richtig erkannt. Und? Wenn du Hilfe willst, dann richte dich nach den Tipps. Eine gesunde Portion Zweifel deinerseits ist gut, aber ich habe recht. Augenzwinkern Also mach, was ich dir gesagt habe. Das Kurvenintegral eines Vektorfeldes ist nunmal so definiert. Ob du es willst oder nicht.
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

haha smile

bleib dran ich will das jetzt so schnell wie möglich lösen Big Laugh



also so jetzt? stimmt das denn mit dem (-1,1) oder was meinst du ?

Lg
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf die Grenzen ist alles falsch. Du musst erstens x und y mit x(t) und y(t) ersetzen und die Ableitungen von x(t) und y(t) richtig berechnen, die natürlich nicht konstant -1 und 1 sind.
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub eher mit x(t) und y(t) ist mein c gemeint (wie ich das aus der vorlesung kenne) x=x(t)=1-t und y=y(t)=t

und abgeleitet ergibt das -1 und 1.



aber rein mal vom Bildlichen. Wenn ich schon sage das ich eine gerade hab wieso muss ich dann noch die Grenzen von 0 bis Pi/6 nutzen? ich versteh das nicht!

x=x(t):=1-t
y=y(t):=t

Wenn t von 0 bis 1 läuft, wird genau die Kurve C in der gleichen Richtung wie vorher (allerdings jetzt mit "konstanter Geschwindigkeit", was aber glücklicherweise den Wert des Integrals nicht verändert) durchlaufen.
superkato Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das mal so gerrechnet wie ich dachte mit 0 und 1

hier meine Rechnung:

http://www.superkato.net/files/aufgabe5c.pdf

wäre nett wenn ihr mir sagen würdet, was ihr davon haltet.

Gruß,

Anja
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich erst, dass du die Invarianz des Integrals von der Darstellung des Weges benutzen willst. Das ist natürlich völlig korrekt, und deine Rechnung liefert das richtige Ergebnis. Du hättest aber auch erkennen können, dass dein Vektorfeld ein Potentialfeld ist. Es ist mit



Daher gilt



Fertig. smile
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