Binomialverteilung

25.06.2009, 17:20

AnitaC

Binomialverteilung

Sie sind im internationalen Vertrieb eines deutschen Herstellers von Spezialmaschinen tätig. Im persönlichen Gespräch mit einem Kaufinteressenten gelingt es Ihnen in 40% der Fälle einen Vertragsabschluss zu erzielen. In der nächsten Woche treffen Sie 12 Kaufinteressenten in den USA.

d) Ihr Kollege hat bei seinen 120 Kundenbesuchen 65 Verträge abgeschlossen. Sie rechtfertigen Ihre schlechtere Erfolgsquote mit der Bemerkung „Jeder kann mal Glück haben!“ Hat Ihr Kollege nur Glück gehabt oder ist er wahrscheinlich ein besserer Verkäufer als Sie? (3,5 Punkte)

e) Aus einem abgeschlossenen Vertrag entsteht eine Deckungsbeitrag von etwa 4.000,00 US$ vor Berücksichtigung der Reisespesen. Eine Dienstreise kostet rund 16.000,00 US$. Sie haben bereits 10 Dienstreisen in die USA mit 120 Kundenbesuchen unternommen. Wie wahrscheinlich ist es (approximativ), dass Ihr Arbeitgeber bei dieser Zahl von Gesprächen aus Ihren Dienstreisen einen Verlust realisiert? (3 Punkte)

d) Da bin ich mir nicht im klaren wie man da überhaupt an die Aufgabe rangehen soll. Ich hätt jetzt phi ausgerechnet (wäre dann 53,3 %) aber das kann nicht alles gewesen sein.

e) Wenn X kleiner 39,5 (eigentlich 40 aber durch Stetigkeitskorrektur: 40 - 0,5) entsteht ein Verlust.
Mit 1 - P(z<1,5) erhält man dann 6,68 %

25.06.2009, 19:10

Huggy

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RE: Binomialverteilung
d) ist ein typischer Fall für einen Hypothesentest. Wie Wahrscheinlich ist es, dass man mit p = 0,4 bei 120 Versuchen 65 oder mehr Erfolge hat. Zu berechnen ist also:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 65) = 1 - P(X \leq 64) \end{eqnarray*}$

Wenn das kleiner ist als das gewählte Signifikanzniveau (z. B. 5 %) wird man die Hypothese 'nur Glück gehabt' ablehnen.

e) Bei 40 Abschlüssen ist die Bilanz ausgeglichen, bei 39 oder weniger entsteht ein Verlust. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 39) = B(39;120;0,4)=5,53 % \end{eqnarray*}$

In diesem Zahlbereich haben die heutigen Taschenrechner meist keine Probleme mit der Binomialverteilung. Du hast die Näherung mit der Normalverteilung verwendet. Das ist in Ordnung, aber irgend etwas ist da schief gegangen. Die zugehörige Normalverteilung hat

$\begin{eqnarray*} \mu = 120\cdot 0,4 =48 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma =\sqrt{120*0,4*0,6)} \approx 5,367 \end{eqnarray*}$

Damit bekommt man

$\begin{eqnarray*} B(39;120;0,4) \approx N(39,5;\mu;\sigma) \approx 5,66 % \end{eqnarray*}$

Dein Resultat liegt etwas weit davon weg.

25.06.2009, 21:24

AnitaC

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RE: Binomialverteilung

Zitat:

Original von Huggy
d) ist ein typischer Fall für einen Hypothesentest. Wie Wahrscheinlich ist es, dass man mit p = 0,4 bei 120 Versuchen 65 oder mehr Erfolge hat. Zu berechnen ist also:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 65) = 1 - P(X \leq 64) \end{eqnarray*}$

Wenn das kleiner ist als das gewählte Signifikanzniveau (z. B. 5 %) wird man die Hypothese 'nur Glück gehabt' ablehnen.

Wie kann ich das denn dann ausrechnen? Mir fehlt ja die Standardabweichung und eigentlich auch das Signifikanzniveau. (Sorry steh hier wirklich total aufm Schlauch)

Danke für deine Antworten!!

25.06.2009, 21:42

Huggy

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RE: Binomialverteilung
Da fehlt doch nichts. Einmal kann man $\begin{eqnarray*} P(X\leq 64) \end{eqnarray*}$ direkt mit der Binomialverteilung ausrechnen. Und wenn es die Normalverteilung sein soll, n und p haben denselben Wert wie bei e), also sind der Mittelwert und die Standardabweichung auch gleich.

Wenn das Signifikanzmiveau nicht in der Aufgabe gegeben ist, legt man es entweder selber fest oder man beurteilt die berechnete Wahrscheinlichkeit direkt. Das ist keine Frage der Mathematik sondern der Beurteilung eines mathematischen Ergebnisses durch den Menschen.

25.06.2009, 21:47

Investigator

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Du weißt, dass mit $\begin{eqnarray*} X: \text{Anzahl der Erfolge k} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} P(X=k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k q^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Also betrachtest du: $\begin{eqnarray*} P(X \geq 65) = 1 - \sum_{k=1}^{64}~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k q^{n-k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=0,4 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \Rightarrow q=0,6 \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} n=120 \end{eqnarray*}$

Hierfür ist ein handüblicher Taschenrechner natürlich nicht geeignet, ein CAS/GTR wäre erforderlich.

Oder du wählst den Ansatz über die Normalverteilung.

25.06.2009, 21:56

Huggy

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@Investigator

Die Summe sollte schon bei k = 0 beginnen.

26.06.2009, 14:29

AnitaC

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So jetzt müssts klappen. Hab das mal mit der Normalverteilung gemacht:

48 + 2,575 * 5,367 = 62,41
(ist das eigentlich egal, ob ich von den 65 ausgehe und dann die 'Untergrenze' berechne oder von den 48 - wie hier- und dann die Grenze ausrechne in der die 65 liegen müsste??)

Das würde dann ja entsprechend heißen, dass mit einer 99%igen Wahrscheinlichkeit die 65 Vertragsabschlüsse nicht in dem Intervall liegen, der Kollege also wirklich besser ist?!!

26.06.2009, 15:29

Huggy

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Die Schlussfolgerung ist richtig. Der Kollege ist besser. Und das sogar bei dem niedrigen Signifikanzniveau von 1 %.

Der Zahlenwert ist noch nicht ganz korrekt. Der Faktor 2,575 ergibt sich bei zweiseitigem 99 %-Quantil. Gesucht ist aber der einseitige Bereich, also die Stelle, wo die Normalverteilung den Wert 0,99 hat. das ist bei 2,326 der Fall.

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