Extremwert

25.06.2009, 22:22

Tarsuinn

Extremwert

Hallo,

hab folgende Aufgabe und soll die absoluten Extrema finden, dazu bildet man ja die erste Abeitung und setzt diese dann 0 um das Ergebniss dan in in die zweite Ableitung einzusetzen. Das ist hier aber schwierig und relativ kompliziert, hab als Tip folgendes bekommen:

Überlegen Sie sich erst, wo die absoluten Minima der Funktionen liegen (geht leicht ohne Differentialrechnung: Definitionsbereich beachten, um das Vorzeichen von fn(x) zu checken), dann wird die Argumentation für die absoluten Maxima vom Aufwand her leichter (bei geschickter Argumentation ist nämlich dann keine zweite Ableitung mehr nötig!)

Nur bringt mich das nicht weiter hab bis jetzt das hier:

$\begin{eqnarray*} f(x)=nx^{2}\left(1-\frac{x}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x\in[0,2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2nx\left(1-\frac{x}{2}\right)^n+\frac{1}{2}n^2x^2\left(1-\frac{x}{2}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

MfG

25.06.2009, 23:50

Mathespezialschüler

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Du hast bei der Kettenregel das Minus vergessen. Und dann kannst du doch ganz viel ausklammern.

27.06.2009, 10:10

Tarsuinn

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Danke erstmal für die Antwort, habe es jetzt mal mit ausklammern versucht, nur seh ich glaube nicht alles, wäre das so schon ok, oder doch eher mist?

$\begin{eqnarray*} nx\left(1-\frac{x}{2}\right)^{n}\left(2-\frac{1}{2}nx\left(1-\frac{x}{2}\right)^{n-2}\right) \end{eqnarray*}$

28.06.2009, 00:39

Tarsuinn

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Hmm keiner noch nen Tipp?

28.06.2009, 09:23

Huggy

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(1) Welche Werte darf n haben? Natürliche Zahlen?

(2) Du sollst nicht die relativen Extrema finden, sondern die absoluten Extrema. Die könnten auch am Rand des Definitionsbereichs liegen. Schau dir also auch mal f(0) und f(2) an. Das ist auch aus anderen Gründen nützlich. Siehe den fetten Text in der Aufgabe.

(3) Deine Ableitung enthält einen Schreibfwhler (Vorzeichen). Nach dem Ausklammern ist das Vorzeichen richtig. Dafür ist der Exponent in der zweiten Klammer falsch.

(4) E ist besser, $\begin{eqnarray*} (1-\frac{x}{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$ auszuklammern statt $\begin{eqnarray*} (1-\frac{x}{2})^n \end{eqnarray*}$ .

(5) Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

28.06.2009, 10:24

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Huggy
(1) Welche Werte darf n haben? Natürliche Zahlen?

(2) Du sollst nicht die relativen Extrema finden, sondern die absoluten Extrema. Die könnten auch am Rand des Definitionsbereichs liegen. Schau dir also auch mal f(0) und f(2) an. Das ist auch aus anderen Gründen nützlich. Siehe den fetten Text in der Aufgabe.

(3) Deine Ableitung enthält einen Schreibfwhler (Vorzeichen). Nach dem Ausklammern ist das Vorzeichen richtig. Dafür ist der Exponent in der zweiten Klammer falsch.

(4) E ist besser, $\begin{eqnarray*} (1-\frac{x}{2})^{n-1} \end{eqnarray*}$ auszuklammern statt $\begin{eqnarray*} (1-\frac{x}{2})^n \end{eqnarray*}$ .

(5) Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Danke ich denke das hilft mir schonmal weiter die Aufgabe zu verstehen. werde mir erstmal f(0) und f(2) anschauen.

Danke

28.06.2009, 11:23

Tarsuinn

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Ok habe jetzt f(0) und f(2) betrachtet, sind beide null, daruas schliess ich das es Minima der Funktion sind. Die Ableitung habe ich nochmal neu zusammen gefasst nur stehe ich jetzt an einem Punkt wo ich nicht so recht weiter weiß.

$\begin{eqnarray*} nx\left(1-\frac{x}{2}\right)^{n-1} \left(2-x-\frac{1}{2}nx\right) \end{eqnarray*}$

Gleichung =0 gesetzt und dann den ersten Faktor durch dividieren entfernt:

$\begin{eqnarray*} 2-x-\frac{1}{2}nx=0 \end{eqnarray*}$

Umstellen:

$\begin{eqnarray*} x(-1-\frac{1}{2}n)=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\left(\frac{-2}{-1-\frac{1}{2}n} \right) \end{eqnarray*}$

ich hoffe vom Ansatz her ok, aber bestimmt ist mir da wieder was durch die Finger geglitten unglücklich

MfG

28.06.2009, 11:32

Huggy

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Zitat:

Original von Tarsuinn
aber bestimmt ist mir da wieder was durch die Finger geglitten unglücklich

Ja. Ist wirklich nur eine Kleinigkeit, aber wichtig.
Wieso wird aus -2 in der vorletzten Zeile 2 in der letzten Zeile?

28.06.2009, 11:36

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Tarsuinn
aber bestimmt ist mir da wieder was durch die Finger geglitten unglücklich

Ja. Ist wirklich nur eine Kleinigkeit, aber wichtig.
Wieso wird aus -2 in der vorletzten Zeile 2 in der letzten Zeile?

- / - = plus war zu vorschnell smile

Sonst kann man das so lassen?

28.06.2009, 11:43

Huggy

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Ja.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

ist die Nullstelle der Ableitung im Inneren des Definitionsbereichs. Da die die Funktion am Rand 0 ist und dazwischen positiv, muss das ein lokales Maximum sein. Und das ist dann zugleich das absolute Maximum.

28.06.2009, 14:15

Tarsuinn

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Cool, das gibts mir Hoffnung das ich doch ein wenig Ahnung von Mathe habe.

MfG

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